2022　大学入学共通テスト　追試験　数学II・IIBMathJax

【１】

［１］　座標平面上で，直線$3x+2y-39=0$を$l_1$とする．また，$k$を実数とし，直線$kx-y-5k+12=0$を$l_2$とする．

(1)　直線$l_1$と$x$軸は，点$(\text{アイ},0)$で交わる．

　また，直線$l_2$は$k$の値に関係なく点$(\text{ウ},\text{エオ})$を通り，直線$l_1$もこの点を通る．

(2)　$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$および$x$軸によって囲まれた三角形ができないような$k$の値は

$k=\text{カ}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{キク}}{\text{ケ}}}$

である．

(3)　$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$および$x$軸によって囲まれた三角形ができるとき，この三角形の周および内部からなる領域を$D$とする．さらに，$r$を正の実数とし，不等式$x^2+y^2\leqq r^2$の表す領域を$E$とする．

　直線$l_2$が点$(-13,0)$を通る場合を考える．このとき，$k={\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．さらに，$D$が$E$に含まれるような$r$の値の範囲は

$r\geqq \text{シス}$

である．

　次に，$r=\text{シス}$の場合を考える．このとき，$D$が$E$に含まれるような$k$の値の範囲は

$k\geqq {\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}$または$k<{\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツ}}}$

である．

【１】

［２］　$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．

(1)　$\tan \theta =-\sqrt{3}$のとき，$\theta =\text{テ}$であり

$\cos \theta =\text{ト}\text{，}$$\sin \theta =\text{ナ}$

である．

　一般に，$\tan \theta =k$のとき

$\cos \theta =\text{ニ}\text{，}$$\sin \theta =\text{ヌ}$

である．

　$\text{テ}$の解答群

　$\text{ト}\text{，}$$\text{ナ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ニ}\text{，}$$\text{ヌ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　花子さんと太郎さんは，関数のとり得る値の範囲について話している．

　${\displaystyle \frac{\sin 2\theta }{\cos \theta }}=p\text{，}$${\displaystyle \frac{\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{7}})}{\cos \theta }}=q$とおく．

　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\theta$を動かすとき，$p$のとり得る値の範囲は$\text{ネ}$であり，$q$のとり得る値の範囲は$\text{ノ}$である．

　$\text{ネ}$の解答群

　$\text{ノ}$の解答群

(3)　$\alpha$は$0\leqq \alpha <2\pi$を満たすとし

${\displaystyle \frac{\sin (\theta +\alpha )}{\cos \theta }}=r$

とおく．$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{7}}$の場合，$r$は(2)で定めた$q$と等しい．

　$\alpha$の値を一つ定め，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$\theta$のみを動かすとき，$r$のとり得る値の範囲を考える．

　$r$のとり得る値の範囲が$q$のとり得る値の範囲と異なるような$\alpha$$\text{（}0\leqq \alpha <2\pi \text{）}$は$\text{ハ}\text{．}$

　$\text{ハ}$の解答群

【２】　$k$を実数とし

$f(x)=x^3-kx$

とおく．また，座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．

　必要に応じて，次のことを用いてもよい．

(1)　$t$を実数とし

$g(x)={(x-t)}^3-k(x-t)$

とおく．また，座標平面上の曲線$y=g(x)$を$C_1$とする．

(ⅰ)　関数$f(x)$は$x=2$で極値をとるとする．

　このとき，$f^{\prime }(2)=\text{ア}$であるから，$k=\text{イウ}$であり，$f(x)$は$x=\text{エオ}$で極大値をとる．また，$g(x)$が$x=3$で極大値をとるとき，$t=\text{カ}$である．

(ⅱ)　$t=1$とする．また，曲線$C$と$C_1$は$2$点で交わるとし，一つの交点の$x$座標は$-2$であるとする．このとき，$k=\text{キク}$であり，もう一方の交点の$x$座標は$\text{ケ}$である．また，$C$と$C_1$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$の範囲にある部分の面積は${\displaystyle \frac{\text{コサ}}{\text{シ}}}$である．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし

$h(x)=x^3+3a{x}^2+bx+c$

とおく．また，座標平面上の曲線$y=h(x)$を$C_2$とする．

(ⅰ)　曲線$C$を平行移動して，$C_2$と一致させることができるかどうかを考察しよう．$C$を$x$軸方向に$p\text{，}$$y$軸方向に$q$だけ平行移動した曲線が$C_2$と一致するとき

$h(x)={(x-p)}^3-k(x-p)+q$$\cdots \text{①}$

である．よって，$p=\text{スセ}\text{，}$$b=\text{ソ}{p}^2-k$であり

$k=\text{タ}{a}^2-b$$\cdots \text{②}$

である．また，$\text{①}$において，$x=p$を代入すると，$q=h(p)$$=h(\text{スセ})$となる．

　逆に，$k$が$\text{②}$を満たすとき，$C$を$x$軸方向に$\text{スセ}\text{，}$$y$軸方向に$h(\text{スセ})$だけ平行移動させると$C_2$と一致することが確かめられる．

(ⅱ)　$b=3a^2-3$とする．このとき，曲線$C_2$は曲線

$y=x^3-\text{チ}x$

を平行移動したものと一致する．よって，$h(x)$が$x=4$で極大値$3$をとるとき，$h(x)$は$x=\text{ツ}$で極小値$\text{テト}$をとることがわかる．

(ⅲ)　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は$\text{ナ}$と$\text{ニ}$である．

　$\text{ナ}\text{，}$$\text{ニ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

【３】

［１］　$1\leqq x\leqq 4$における関数

$y={\log }_2{x}^4\cdot {\log }_2{\displaystyle \frac{2}{x}}$

の最大値について考える．

　$t={\log }_{2}x$とおくと，$t$のとり得る値の範囲は$\text{ア}\leqq t\leqq \text{イ}$である．このとき，$y$を$t$を用いて表すと

$y=\text{ウエ}{t}^2+\text{オ}t$

となる．これより，$y$は$x=\text{カ}$のとき，最大値$\text{キ}$をとる．

　$\text{カ}$の解答群

【３】

［２］(1)　関数$y={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x$のグラフと$y={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^x$のグラフは，$\text{ク}$であり，関数$y={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x$のグラフと$y={\log }_{\frac{3}{2}}x$のグラフは$\text{ケ}$である．

　$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　関数$y={\log }_{25}x$のグラフは点$(\text{コ},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通り，$x$の値が増加するとき$\text{サ}\text{．}$さらに，関数$y={\log }_{\frac{1}{4}}x$のグラフは点$({\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通り，$x$の値が増加するとき$\text{セ}\text{．}$このとき，これらの関数のグラフから，${\displaystyle \frac{1}{2}}$と${\log }_{25}{\displaystyle \frac{7}{2}}$と${\log }_{\frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{3}{8}}$の間に$\text{ソ}$が成り立つことがわかる．

　$\text{サ}\text{，}$$\text{セ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ソ}$の解答群

【４】　$x$の整式$P(x)\text{，}$$Q(x)$を次のように定める．

$P(x)=x^4-4x^3+4x^2+12x-21$

$Q(x)=x^3-6x^2+15x-14$

(1)　$i^2=-1\text{，}$$i^3=\text{ア}i\text{．}$$i^4=\text{イ}$である．また

$P(i)=\text{ウエオ}+\text{カキ}i$

である．

(2)　太郎さんと花子さんは，$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$を満たす複素数$\alpha$が存在するかどうかについて話している．

　$P(x)$を$Q(x)$で割ったときの余りを$R(x)$とすると

$R(x)=x^2-\text{ク}x+\text{ケ}$

であり

$P(x)=Q(x)(x+\text{コ})+R(x)$$\cdots \text{①}$

が成り立つ．したがって，$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$ならば，$R(\alpha )=\text{サ}$である．このことにより，$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$ならば

$\alpha =\text{シ}\pm \sqrt{\text{ス}}i$$\cdots \text{②}$

でなければならないことがわかる．

　$\text{②}$の$\alpha$が$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$を満たすかどうかを調べよう．

　$Q(x)$を$R(x)$で割ると

$Q(x)=R(x)(x-\text{セ})$

であるので，$Q(x)$は$R(x)$で割り切れる．よって，$\text{②}$の$\alpha$について$Q(\alpha )=0$である．さらに$\text{①}$により，$P(\alpha )=0$が成り立つ．

　したがって，$P(\alpha )=Q(\alpha )=0$を満たす複素数$\alpha$は$\text{ソ}\text{．}$

　$\text{ソ}$の解答群

(3)　$x$の整式$S(x)\text{，}$$T(x)$を

$S(x)=x^4+2x^3+4x^2+3x+3\text{，}$$T(x)=x^3+2x^2+3x+1$

と定めると，次の式が成り立つ．

$S(x)=T(x)x+x^2+\text{タ}x+\text{チ}$

したがって，$S(\beta )=T(\beta )=0$を満たす複素数$\beta$は$\text{ツ}\text{．}$

　$\text{ツ}$の解答群

【３】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　太郎さんのクラスでは，確率分布の問題として，$2$個のさいころを同時に投げることを$72$回繰り返す試行を行い，$2$個とも$1$の目が出た回数を表す確率変数$X$の分布を考えることとなった．そこで，$21$名の生徒がこの試行を行った．

(1)　$X$は二項分布$B(\text{アイ},{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エオ}}})$に従う．このとき，$k=\text{アイ}\text{，}$$p={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エオ}}}$とおくと，$X=r$である確率は

$P(X=r)={}_{k}C_r{p}^r{(1-p)}^{\text{カ}}$$\text{（}r=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}k\text{）}$$\cdots \text{①}$

である．

　また，$X$の平均（期待値）は$E(X)=\text{キ}\text{，}$標準偏差は$\sigma (X)={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{クケ}}}{\text{コ}}}$である．

　$\text{カ}$の解答群

(2)　$21$名全員の試行結果について，$2$個とも$1$の目が出た回数を調べたところ，次の表のような結果になった．なお，$5$回以上出た生徒はいなかった．

　この表をもとに，確率変数$Y$を考える．$Y$のとり得る値を$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$とし，各値の相対度数を確率として，$Y$の確率分布を次の表のとおりとする．

　このとき，$Y$の平均は$E(Y)={\displaystyle \frac{\text{セソ}}{\text{タチ}}}\text{，}$標準偏差は$\sigma (Y)={\displaystyle \frac{\sqrt{530}}{21}}$である．

(3)　太郎さんは，(2)の実際の試行結果から作成した確率変数$Y$の分布について，二項分布の$\text{①}$のように，その確率の値を数式で表したいと考えた．そこで，$Y=1\text{，}$$Y=2$である確率が最大であり，かつ，それら二つの確率が等しくなっている確率分布について先生に相談したところ，$Y$の代わりとして，新しく次のような確率変数$Z$を提案された．

　このとき，(2)と同様に$Z$の確率分布の表を作成することにより，$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$であることがわかる．

　$Z$の平均は$E(Z)={\displaystyle \frac{\text{セソ}}{\text{タチ}}}\text{，}$標準偏差は$\sigma (Z)={\displaystyle \frac{\sqrt{614}}{21}}$であり，$E(Z)=E(Y)$が成り立つ．また，$Z=1\text{，}$$Z=2$である確率が最大であり，かつ，それら二つの確率は等しい．これらのことから，太郎さんは提案されたこの$Z$の確率分布を利用することを考えた．

(4)　(3)で考えた確率変数$Z$の確率分布をもつ母集団を考え，この母集団から無作為に抽出した大きさ$n$の標本を確率変数$W_1\text{，}$$W_2\text{，}\cdots \text{．}$$W_n$とし，標本平均を$\bar{W}={\displaystyle \frac{1}{n}}(W_1+W_2+\cdots +W_n)$とする．

　$\bar{W}$の平均を$E(\bar{W})=m\text{，}$標準偏差を$\sigma (\bar{W})=s$とおくと，$m={\displaystyle \frac{\text{トナ}}{\text{ニヌ}}}\text{，}$$s=\sigma (Z)\cdot \text{ネ}$である．

　$\text{ネ}$の解答群

　また，標本の大きさ$n$が十分に大きいとき，$\bar{W}$は近似的に正規分布$N(m,s^2)$に従う．さらに，$n$が増加すると$s^2$は$\text{ノ}$ので，$\bar{W}$の分布曲線と，$m$と$E(X)=\text{キ}$の大小関係に注意すれば，$n$が増加すると$P(\bar{W}\geqq \text{キ})$は$\text{ハ}$ことがわかる．

　ここで，$U=\text{ヒ}$とおくと，$n$が十分に大きいとき，確率変数$U$は近似的に標準正規分布$N(0,1)$に従う．このことを利用すると，$n=100$のとき，標本の大きさは十分に大きいので

$P(\bar{W}\geqq \text{キ})=0.\text{フヘホ}$

である．ただし，$0.\text{フヘホ}$の計算においては，${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{614}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{614}}{614}}=0.040$とする．

　$\bar{W}$の確率分布において$E(X)$は極端に大きな値をとっていることがわかり，$E(X)$と$E(\bar{W})$は等しいとはみなせない．

　$\text{ノ}\text{，}$$\text{ハ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ヒ}$の解答群

【４】　数列$\{a_n\}$は，初項が$1$で，

$a_{n+1}=a_n+4n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，数列$\{b_n\}$は，初項が$1$で

$b_{n+1}=b_n+4n+2+2\cdot {(-1)}^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．さらに，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．

(1)　$a_2=\text{ア}$である．また，階差数列を考えることにより

$a_n=\text{イ}{n}^2-\text{ウ}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

であることがわかる．さらに

$S_n={\displaystyle \frac{\text{エ}{n}^3+\text{オ}{n}^2-\text{カ}n}{\text{キ}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を得る．

(2)　$b_2=\text{ク}$である．また，すべての自然数$n$に対して

$a_n-b_n=\text{ケ}$

が成り立つ．

　$\text{ケ}$の解答群

(3)　(2)から

$a_{2021}\text{コ}{b}_{2021}\text{，}$$a_{2022}\text{サ}{b}_{2022}$

が成り立つことがわかる．また，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおくと

$S_{2021}\text{シ}{T}_{2021}\text{，}$$S_{2022}\text{ス}{T}_{2022}$

が成り立つこともわかる．

　$\text{コ}\text{〜}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(4)　数列$\{b_n\}$の初項を変えたらどうなるかを考えてみよう．つまり，初項が$c$で

$c_{n+1}=c_n+4n+2+2\cdot {(-1)}^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす数列$\{c_n\}$を考える．

　すべての自然数$n$に対して

$b_n-c_n=\text{セ}-\text{ソ}$

が成り立つ．

　また，$U_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$とおく．$S_4=U_4$が成り立つとき，$c=\text{タ}$である．このとき

$S_{2021}\text{チ}{U}_{2021}\text{．}$$S_{2022}\text{ツ}{U}_{2022}$

も成り立つ．

　ただし，$\text{タ}$は，文字$\text{(}a\text{〜}d\text{)}$を用いない形で答えること．

　$\text{チ}\text{，}$$\text{ツ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【５】　$a$を正の実数とする．Oを原点とする座標空間に$4$点

${\mathrm{A}}_1(1,0,a)\text{，}$${\mathrm{A}}_2(0,1,a)\text{，}$${\mathrm{A}}_3(-1,0,a)\text{，}$${\mathrm{A}}_4(0,-1,a)$

がある．また，次の図のように，$4$点${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_4$を四角形${\mathrm{A}}_1\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\mathrm{O}{\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_4$がそれぞれひし形になるようにとる．さらに，$4$点${\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_3\text{，}$${\mathrm{C}}_4$を四角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{B}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_4{\mathrm{C}}_4{\mathrm{B}}_3$がそれぞれひし形になるようにとる．

　ただし，座標空間における四角形を考える際には，その四つの頂点が同一平面上にあるものとする．

(1)　点${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_3$の座標は

${\mathrm{B}}_2(-1,\text{ア},\text{イウ})\text{，}$${\mathrm{C}}_3(-1,\text{エ},\text{オカ})$

である．

　また，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\text{キ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_3}=\text{ク}$

となる．

　$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　ひし形${\mathrm{A}}_1\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1$と${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{B}}_4$が合同であるとする．

　対応する対角線の長さが等しいことから，$a={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}$であることがわかる．

　直線$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1$上に点$\mathrm{P}$を$\angle \mathrm{O}\mathrm{P}{\mathrm{A}}_2$が直角となるようにとる．

　実数$s$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と表せる．$\overrightarrow{\mathrm{P}{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$が垂直であること，および

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}={\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}$

であることにより

$s={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}$

であることがわかる．

(3)　実数$a$および点$\mathrm{P}$を(2)のようにとり，$3$点$\mathrm{P}\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_4$を通る平面を$\alpha$とするとき，次のことについて考察しよう．

　$\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{P}{\mathrm{A}}_4$も直角であるので，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と平面$\alpha$は垂直であることに注意する．

　直線${\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_3$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

　実数$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}+t\overrightarrow{{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_3}$

と表せる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と垂直であることにより

$t=\text{チ}$

であることがわかる．

　座標空間から平面$\alpha$を除いた部分は，$\alpha$を境に，原点$\mathrm{O}$を含む側と含まない側に分けられる．このとき，点${\mathrm{B}}_2$は$\text{ツ}$にあり，点${\mathrm{C}}_3$は$\text{テ}$にある．

　$\text{チ}$の解答群

　$\text{ツ}\text{，}$$\text{テ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）