2025年度用試作問題数学IAMathJax

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2025年度用試作問題数学IA

配点10点

正解と配点

数学I分野

【1】[1] 2021年大学入試共通テスト本試験数学I,IA共通【1】[1] 2021-10000-0101と同一問題(新規ウインドウで開く)

2025年度用試作問題数学IA

配点20点

正解と配点

数学I分野

【1】[2] 2021年大学入試共通テスト本試験数学IA【1】[2]2021-10000-0107と同一問題(新規ウインドウで開く)

2025年度用試作問題数学IA

配点15点

正解と配点

数学I分野

【2】[1] 2021年大学入試共通テスト本試験数学I【3】[2],数学IA【2】[1]2021-10000-0105と同一問題(新規ウインドウで開く)

2025年度用試作問題数学IA

配点15点

正解と配点

数学I分野

易□ 並□ 難□

【2】

空港の情景図

(略)

[2] 太郎さんと花子さんは,社会のグローバル化に伴う都市間の国際競争において,都市周辺にある国際空港の利便性が重視されていることを知った.そこで,日本を含む世界の主な 40 の国際空港それぞれから最も近い主要ターミナル駅へ鉄道等で移動するときの「移動距離」,「所要時間」,「費用」を調べた.なお,「所要時間」と「費用」は各国とも午前 10 時台で調査し,「費用」は調査時点の為替レートで日本円に換算した.

 以下では,データが与えられた際,次の値を外れ値とする.

( 1 四分位数 )-1.5 ×(四分位範囲 ) 以下のすべての値

( 3 四分位数 )+1.5 ×( 四分位範囲 ) 以上のすべての値

56 48 47 42 40 38 38 36 28 25
25 24 23 22 22 21 21 20 20 20
20 20 19 18 16 16 15 15 14 13
13 12 11 11 10 10 10 8 7 6

(1) 右のデータは, 40 の国際空港からの「移動距離」(単位は km を並べたものである.

 このデータにおいて,四分位範囲は タチ であり,外れ値の個数は である.

(2) 図1は「移動距離」と「所要時間」の散布図,図2は「所要時間」と「費用」の散布図,図3は「費用」と「移動距離」の散布図である.ただし,白丸は日本の空港,黒丸は日本以外の空港を表している.また,「移動距離」,「所要時間」,「費用」の平均値はそれぞれ 22 38 950 であり,散布図に実線で示している.

2025年度用共通テスト試作問題【2】[2]2022100000504の図

図1

2025年度用共通テスト試作問題【2】[2]2022100000504の図 2025年度用共通テスト試作問題【2】[2]2022100000504の図

図2

図3

(ⅰ)  40 の国際空港について,「所要時間」を「移動距離」で割った 1km あたりの所要時間」を考えよう.外れ値を*で示した 1km あたりの所要時間」の箱ひげ図は であり,外れ値は図1のA〜Hのうちの である.

  については,最も適当なものを,次の 0 4 のうちから一つ選べ.

2025年度用共通テスト試作問題【2】[2]2022100000504の図

  の解答群(解答の順序は問わない.)

0  A   1  B   2  C   3  D   4  E   5  F   6  G   7  H

(ⅱ) ある国で,次のような新空港が建設される計画があるとする.

移動距離 km 所要時間(分) 費用(円)
22 38 950

 次の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)は, 40 の国際空港にこの新空港を加えたデータに関する記述である.

(Ⅰ) 新空港は,日本の四つのいずれの空港よりも,「費用」は高いが「所要時間」は短い.

(Ⅱ) 「移動距離」の標準偏差は,新空港を加える前後で変化しない.

(Ⅲ) 図1,図2,図3のそれぞれの二つの変量について,変量間の相関係数は,新空港を加える前後で変化しない.

 (Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものは である.

  の解答群

  0 1 2 3 4 5 6 7
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)

(3) 太郎さんは,調べた空港のうちの一つである P 空港で,利便性に関するアンケート調査が実施されていることを知った.

太郎: P 空港を利用した 30 人に, P 空港は便利だと思うかどうかをたずねたとき,どのくらいの人が「便利だと思う」と回答したら, P 空港の利用者全体のうち便利だと思う人の方が多いとしてよいのかな.

花子:例えば, 20 人だったらどうかな.

 二人は, 30 人のうち 20 人が「便利だと思う」と回答した場合に, P 空港は便利だと思う人の方が多い」といえるかどうかを,次の方針で考えることにした.

方針

・“ P 空港の利用者全体のうちで「便利だと思う」と回答する割合と,「便利だと思う」と回答しない割合が等しい”という仮説をたてる.

・この仮説のもとで, 30 人抽出したうちの 20 人以上が「便利だと思う」と回答する確率が 5 % 未満であれば,その仮説は誤っていると判断し, 5 % 以上であれば,その仮説は誤っているとは判断しない.

 次の実験結果は, 30 枚の硬貨を投げる実験を 1000 回行ったとき,表が出た枚数ごとの回数の割合を示したものである.

実験結果

表の枚数 0 1 2 3 4  
割合 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %  
表の枚数 5 6 7 8 9  
割合 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.1 % 0.8 %  
表の枚数 10 11 12 13 14  
割合 3.2 % 5.8 % 8.0 % 11.2 % 13.8 %  
表の枚数 15 16 17 18 19  
割合 14.4 % 14.1 % 9.8 % 8.8 % 4.2 %  
表の枚数 20 21 22 23 24  
割合 3.2 % 1.4 % 1.0 % 0.0 % 0.1 %  
表の枚数 25 26 27 28 29 30
割合 0.0 % 0.1 % 0.0 % 0.0 % 0.0 % 0.0 %

2025年度用共通テスト試作問題【2】[2]2022100000504の図

 実験結果を用いると, 30 枚の硬貨のうち 20 枚以上が表となった割合は . % である.これを, 30 人のうち 20 人以上が「便利だと思う」と回答する確率とみなし,方針に従うと,「便利だと思う」と回答する割合と「,便利だと思う」と回答しない割合が等しいという仮説は P 空港は便利だと思う人の方が

  については,最も適当なものを,次のそれぞれの解答群から一つずつ選べ.

  の解答群

0  誤っていると判断され   1  誤っているとは判断されず

  の解答群

0  多いといえる   1  多いとはいえない

2025年度用試作問題数学IA

配点20点

正解と配点

数学A分野

【3】 2021年大学入試共通テスト本試験数学IA【5】 2021-10000-0111と同一問題 (新規ウインドウで開く)

2025年度用試作問題数学IA

配点20点

正解と配点

数学A分野

【4】 中にくじが入っている二つの箱 A B がある.二つの箱の外見は同じであるが,箱 A では,当たりくじを引く確率が 12 であり,箱 B では,当たりくじを引く確率が 13 である.

(1) 各箱で,くじを 1 本引いてはもとに戻す試行を 3 回繰り返す.このとき

A において, 3 回中ちょうど 1 回当たる確率は

B において, 3 回中ちょうど 1 回当たる確率は

である.箱 A において, 3 回引いたときに当たりくじを引く回数の期待値は であり,箱 B において, 3 回引いたときに当たりくじを引く回数の期待値は である.

(2) 太郎さんと花子さんは,それぞれくじを引くことにした.ただし,二人は,箱 A B での当たりくじを引く確率は知っているが,二つの箱のどちらが A で,どちらが B であるかはわからないものとする.

 まず,太郎さんが二つの箱のうちの一方をでたらめに選ぶ.そして,その選んだ箱において,くじを 1 本引いてはもとに戻す試行を 3 回繰り返したところ, 3 回中ちょうど 1 回当たった.

 このとき,選ばれた箱が A である事象を A 選ばれた箱が B である事象を B 3 回中ちょうど 1 回当たる事象を W とする. に注意すると

P( AW) = 12 × P( BW) = 12 ×

である. P( W)= P( AW )+P (B W ) であるから, 3 回中ちょうど 1 回当たったとき,選んだ箱が A である条件付き確率 PW (A ) クケ コサ となる.また,条件付き確率 P W( B) 1- PW (A ) で求められる.

 次に,花子さんが箱を選ぶ.その選んだ箱において,くじを 1 本引いてはもとに戻す試行を 3 回繰り返す.花子さんは,当たりくじをより多く引きたいので,太郎さんのくじの結果をもとに,次の(X),(Y)のどちらの場合がよいかを考えている.

(X) 太郎さんが選んだ箱と同じ箱を選ぶ.

(Y) 太郎さんが選んだ箱と異なる箱を選ぶ.

 花子さんがくじを引くときに起こりうる事象の場合の数は,選んだ箱が A B のいずれかの 2 通りと, 3 回のうち当たりくじを引く回数が 0 1 2 3 回のいずれかの 4 通りの組合せで全部で 8 通りある.

花子:当たりくじを引く回数の期待値が大きい方の箱を選ぶといいかな.

太郎:当たりくじを引く回数の期待値を求めるには,この 8 通りについて,それぞれの起こる確率と当たりくじを引く回数との積を考えればいいね.

 花子さんは当たりくじを引く回数の期待値が大きい方の箱を選ぶことにした.

 (X)の場合について考える.箱 A において 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象を A1 B において 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象を B 1 と表す.

 太郎さんが選んだ箱が A である確率 PW (A ) を用いると,花子さんが選んだ箱が A で,かつ,花子さんが 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象の起こる確率は PW (A) ×P (A 1) と表せる.このことと同様に考えると,花子さんが選んだ箱が B で,かつ,花子さんが 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象の起こる確率は と表せる.

花子:残りの 6 通りも同じように計算すれば,この場合の当たりくじを引く回数の期待値を計算できるね.

太郎:期待値を計算する式は,選んだ箱が A である事象に対する式と B である事象に対する式に分けて整理できそうだよ.

 残りの 6 通りについても同じように考えると,(X)の場合の当たりくじを引く回数の期待値を計算する式は

× + ×

となる.

 (Y)の場合についても同様に考えて計算すると,(Y)の場合の当たりくじを引く回数の期待値は ソタ チツ である.よって,当たりくじを引く回数の期待値が大きい方の箱を選ぶという方針に基づくと,花子さんは,太郎さんが選んだ箱と

  の解答群

0   PW (A) ×P (A 1) 1   PW (A) ×P (B 1)
2   PW (B )× P( A1 ) 3   PW (B) ×P (B 1)

  の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい.)

0   1 2 1   14 2   PW ( A) 3   PW (B )
4   1 2 PW (A ) 5   1 2 PW (B )
6   PW (A )-P W( B) 7   PW (B) -PW (A )
8   PW (A )-PW ( B) 2 9   PW (B) -PW (A )2

  の解答群

0  同じ箱を選ぶ方がよい   1  異なる箱を選ぶ方がよい

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