2025年度用試作問題数学IIBCMathJax

【１】　2021年大学入試共通テスト本試験数学II,IIB共通【１】[１]　2021-10000-0201と同一問題(新規ウインドウで開く)

【２】　2021年大学入試共通テスト本試験数学II,IIB【１】[２]2021-10000-0202と同一問題(新規ウインドウで開く)

【３】(1)　座標平面上で，次の二つの$2$次関数のグラフについて考える．

$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の$2$次関数のグラフには次の共通点がある．

　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$の$2$次関数のグラフのうち，$y$軸との交点における接線の方程式が$y=\text{ア}x+\text{イ}$となるものは$\text{ウ}$である．

　$\text{ウ}$の解答群

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$0$でない実数とする．

　曲線$y=a{x}^2+bx+c$上の点$(0,\text{エ})$における接線を$l$とすると，その方程式は$y=\text{オ}x+\text{カ}$である．

　接線$l$と$x$軸との交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\text{キク}}{\text{ケ}}}$である．

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が正の実数であるとき，曲線$y=a{x}^2+bx+c$と接線$l$および直線$x={\displaystyle \frac{\text{キク}}{\text{ケ}}}$で囲まれた図形の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{a{c}^{\text{コ}}}{\text{サ}{b}^{\text{シ}}}}$$\cdots \text{③}$

である．

　$\text{③}$において，$a=1$とし，$S$の値が一定となるように正の実数$b\text{，}$$c$の値を変化させる．このとき，$b$と$c$の関係を表すグラフの概形は$\text{ス}$である．

　$\text{ス}$については，最も適当なものを次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を$0$でない実数とする．

　$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$とする．このとき，関数$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は$y=\text{セ}x+\text{ソ}$である．

　次に，$g(x)=\text{セ}x+\text{ソ}$とし，$f(x)-g(x)$について考える．

　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツ}}}$と$\text{テ}$である．また，$x$が${\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツ}}}$と$\text{テ}$の間を動くとき，$|f(x)-g(x)|$の値が最大となるのは，$x={\displaystyle \frac{\text{トナニ}}{\text{ヌネ}}}$のときである．

【４】　初項$3\text{，}$公差$p$の等差数列を$\{a_n\}$とし，初項$3\text{，}$公比$r$の等比数列を$\{b_n\}$とする．ただし，$p\ne 0$かつ$r\ne 0$とする．さらに，これらの数列が次を満たすとする．

$a_n{b}_{n+1}-2a_{n+1}{b}_n+3b_{n+1}=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{①}$

(1)　$p$と$r$の値を求めよう．自然数$n$について，$a_n\text{，}$$a_{n+1}\text{，}$$b_n$はそれぞれ

と表される．$r\ne 0$により，すべての自然数$n$について，$b_n\ne 0$となる．${\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}=r$であることから，$\text{①}$の両辺を$b_n$で割ることにより

$\text{ウ}{a}_{n+1}=r(a_n+\text{エ})$$\cdots \text{④}$

が成り立つことがわかる．$\text{④}$に$\text{②}$と$\text{③}$を代入すると

$(r-\text{オ})pn=r(p-\text{カ})+\text{キ}$$\cdots \text{⑤}$

となる．$\text{⑤}$がすべての$n$で成り立つことおよび$p\ne 0$により，$r=\text{オ}$を得る．さらに，このことから，$p=\text{ク}$を得る．

　以上から，すべての自然数$n$について，$a_n$と$b_n$が正であることもわかる．

(2)　数列$\{a_n\}$に対して，初項$3$の数列$\{c_n\}$が次を満たすとする．

$a_n{c}_{n+1}-4a_{n+1}{c}_n+3c_{n+1}=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{⑥}$

　$a_n$が正であることから，$\text{⑥}$を変形して，$c_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{ケ}{a}_{n+1}}{a_n+\text{コ}}}{c}_n$を得る．さらに，$p=\text{ク}$であることから，数列$\{c_n)$は$\text{サ}$ことがわかる．

　$\text{サ}$の解答群

(3)　$q\text{，}$$u$は定数で，$q\ne 0$とする．数列$\{b_n\}$に対して，初項$3$の数列$\{d_n\}$が次を満たすとする．

$d_n{b}_{n+1}-q{d}_{n+1}{b}_n+u{b}_{n+1}=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$$\cdots \text{⑦}$

　$r=\text{オ}$であることから，$\text{⑦}$を変形して，$d_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{シ}}{q}}(d_n+u)$を得る．したがって，数列$\{d_n\}$が，公比が$0$より大きく$1$より小さい等比数列となるための必要十分条件は，$q>\text{ス}$かつ$u=\text{セ}$である．

【５】　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

　花子さんは，マイクロプラスチックと呼ばれる小さなプラスチック片（以下，MP）による海洋中や大気中の汚染が，環境問題となっていることを知った．花子さんたち$49$人は，面積が$50\mathrm{a}$（アール）の砂浜の表面にあるMPの個数を調べるため，それぞれが無作為に選んだ$20\mathrm{cm}$四方の区画の表面から深さ$3\mathrm{cm}$までをすくい，MPの個数を研究所で数えてもらうことにした．そして，この砂浜の$1$区画あたりのMPの個数を確率変数$X$として考えることにした．

　このとき，$X$の母平均を$m\text{，}$母標準偏差を$\sigma$とし，標本$49$区画の$1$区画あたりのMPの個数の平均値を表す確率変数を$\bar{X}$とする．

　花子さんたちが調べた$49$ 区画では，平均値が$16\text{，}$ 標準偏差が$2$であった．

(1)　砂浜全体に含まれるMPの全個数$M$を推定することにする．

　花子さんは，次の方針で$M$を推定することとした．

　確率変数$\bar{X}$は，標本の大きさ$49$が十分に大きいので，平均$\text{ア}\text{，}$標準偏差$\text{イ}$の正規分布に近似的に従う．

　そこで，方針に基づいて考えると，確率変数$W$は平均$\text{ウ}\text{，}$標準偏差$\text{エ}$の正規分布に近似的に従うことがわかる．

　このとき，$X$の母標準偏差$\sigma$は標本の標準偏差と同じ$\sigma =2$と仮定すると，$M$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間は

$\text{オカキ}\times {10}^4\leqq M\leqq \text{クケコ}\times {10}^4$

となる．

　$\text{ア}$の解答群

　$\text{イ}$の解答群

　$\text{ウ}$の解答群

　$\text{エ}$の解答群

(2)　研究所が昨年調査したときには，$1$区画あたりのMPの個数の母平均が$15\text{，}$母標準偏差が$2$であった．今年の母平均$m$が昨年とは異なるといえるかを，有意水準$5\mathrm{\%}$で仮説検定をする．ただし，母標準偏差は今年も$\sigma =2$とする．

　まず，帰無仮説は「今年の母平均は$\text{サ}\text{」}$であり，対立仮説は「今年の母平均は$\text{シ}\text{」}$である．

　次に，帰無仮説が正しいとすると，$\bar{X}$は平均$\text{ス}\text{，}$標準偏差$\text{セ}$の標準正規分布に近似的に従うため，確率変数$Z={\displaystyle \frac{\bar{X}-\text{ス}}{\text{セ}}}$は標準正規分布に近似的に従う．

　花子さんたちの調査結果から求めた$Z$の値を$z$とすると，標準正規分布において確率$P(Z\leqq -\left|z\right|)$と確率$P(Z\geqq \left|z\right|)$の和は$0.05$よりも$\text{ソ}$ので，有意水準$5\mathrm{\%}$で今年の母平均$m$は昨年と$\text{タ}\text{．}$

　$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ス}\text{，}$$\text{セ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ソ}$の解答群

　$\text{タ}$の解答群

【６】　$1$辺の長さが$1$の正五角形の対角線の長さを$a$とする．

(1)　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_2$考える．

　正五角形の性質から$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$は平行であり，ここでは

$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}=\text{ア}\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}$

であるから

$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}={\displaystyle \frac{1}{\text{ア}}}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2}$$={\displaystyle \frac{1}{\text{ア}}}(\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1})$

　また，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1}$は平行で，さらに，$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1}$も平行であることから

となる．したがって

${\displaystyle \frac{1}{\text{ア}}}=\text{イ}-\text{ウ}$

が成り立つ．$a>0$に注意してこれを解くと，$a={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$を得る．

(2)　右の図のような，$1$辺の長さが$1$の正十二面体を考える．正十二面体とは，どの面もすべて合同な正五角形であり，どの頂点にも三つの面が集まっているへこみのない多面体のことである．

　面$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_2$に着目する．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$と$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1}$が平行であることから

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1}$$=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}+\text{ア}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$

である．また

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}={\displaystyle \frac{\text{エ}-\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$

を得る．ただし，$\text{エ}\text{〜}$$\text{カ}$は，文字$a$を用いない形で答えること．

　次に，面$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{A}}_3$に着目すると

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}+\text{ア}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$

である．さらに

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}$$=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}$$={\displaystyle \frac{\text{エ}-\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$

が成り立つことがわかる．ゆえに

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\text{キ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=\text{ク}$

である．

　$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　最後に，面${\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_1\mathrm{DE}{\mathrm{B}}_2$に着目する．

$\overrightarrow{{\mathrm{B}}_2\mathrm{D}}$$=\text{ア}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{C}}_1}$$=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1}$

であることに注意すると，$4$点$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$${\mathrm{B}}_2$は同一平面上にあり，四角形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1\mathrm{D}{\mathrm{B}}_2$は$\text{ケ}$ことがわかる．

　$\text{ケ}$の解答群

　ただし，少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という．

【７】

[１]　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$f$を実数とし，$x\text{，}$$y$の方程式

$a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+f=0$

について，この方程式が表す座標平面上の図形をコンピュータソフトを用いて表示させる．ただし，このコンピュータソフトでは$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$f$の値は十分に広い範囲で変化させられるものとする．

　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$f$の値を$a=2\text{，}$$b=1\text{，}$$c=-8\text{，}$$d=-4\text{，}$$f=0$とすると図１のように楕円が表示された．

　方程式$a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+f=0$の$a\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$f$の値は変えずに，$b$の値だけを$b\geqq 0$の範囲で変化させたとき，座標平面上には$\text{ア}\text{．}$

　$\text{ア}$の解答群

【７】

[２]　太郎さんと花子さんは，複素数$w$を一つ決めて，$w\text{，}$$w^2\text{，}$$w^3\text{，}\cdots$によって複素数平面上に表されるそれぞれの点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$を表示させたときの様子をコンピュータソフトを用いて観察している．ただし，点$w$は実軸より上にあるとする．つまり，$w$の偏角を$\arg w$とするとき，$w\ne 0$かつ$0<\arg w<\pi$を満たすとする．

　図１，図２，図３は，$w$の値を変えて点$\mathrm{A}1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{20}$を表示させたものである．ただし，観察しやすくするために，図１，図１，図３の間では，表示範囲を変えている．

　図４をもとに，太郎さんは，${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$と点をとっていって再び${\mathrm{A}}_1$に戻る場合に，点を順に線分で結んでできる図形について一般に考えることにした．すなわち，${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_n$が重なるような$n$があるとき，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n$をかいてできる図形について考える．このとき，$w=w^n$に着目すると$\left|w\right|=\text{イ}$であることがわかる．また，次のことが成り立つ．

・$1\leqq 𝑘\leqq n-1$に対して${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}=\text{ウ}$であり，つねに一定である．

・$2\leqq 𝑘\leqq n-1$に対して$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_{k+1}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k-1}=\text{エ}$であり，つねに一定である．ただし，$\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_{k+1}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k-1}$は，線分${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}$を線分${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k-1}$に重なるまで回転させた角とする．

　花子さんは，$n=25$のとき，すなわち，${\mathrm{A}}_1$と${\mathrm{A}}_{25}$が重なるとき，${\mathrm{A}}_1$から${\mathrm{A}}_{25}$までを順に線分で結んでできる図形が，正多角形になる場合を考えた．このような$w$の値は全部で$\text{オ}$個である．また，このような正多角形についてどの場合であっても，それぞれの正多角形に内接する円上の点を$z$とすると，$z$はつねに$\text{カ}$を満たす．

　$\text{ウ}$の解答群

　$\text{エ}$の解答群

　$\text{カ}$の解答群