2022 旭川医科大学 前期

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2022 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  ▵OAB において, 3 辺の長さをそれぞれ OA =1 OB=2 AB=3 とし,辺 AB AL :LB=1 :2 と内分する点を L とする.辺 OA 上に OP =m OA となる点 P OB 上に OQ =n OB となる点 Q をとる. P Q ∠PLQ =π 2 を満たすように動き, AQ BP との交点を R とする.このとき,次の各問いに答えよ.ただし, 0<m< 1 0<n< 1 とする.

問1  m+n の値は一定であることを示し,その値を求めよ.

問2  OR OA OB および m を用いて表せ.

問3  ▵PRQ の面積 S のとりうる値の範囲を求めよ.

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医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【2】  0x 1 の範囲で連続な関数 f (x ) について,数列 { gn }

gn= k=0 n-1 kn kn+1 2n f (x) dx n=1 2 3

と定める.次の各問いに答えよ.ただし, a b c p q α β 0 でない定数とし, e は自然対数の底である.

問1  f( x)= ax2 +bx +c のとき, gn を求めよ.

問2  f( x)= eα x のとき, gn を求めよ.

問3  I= 01 f( x) dx とおく.このとき, f( x)=p eα x+ qe βx +ax 2+b x+c について, limn gn I を用いて表せ.

2022 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

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【3】  1 から 30 までの自然数について,次の各問いに答えよ.

問1 この 30 個の自然数のうち,次の数はいくつあるか.

(1)  4 の倍数または 6 の倍数

(2)  2 の倍数であるが 4 でも 6 でも割り切れない数

問2 この 30 個の自然数から互いに異なる 2 数を選ぶとき,次の選び方は何通りあるか.

(1) 少なくとも一方の数が 12 の倍数となる選び方

(2)  2 つの数の積が 12 の倍数となる選び方

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医学部(医学科)

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【4】  a b は正の実数で a >b とし, α tan α= ba を満たす角とする.ただし, 0<α < π4 とする.このとき,次の問1と問2に答えよ.右下に図1と図2がある.

2022年旭川医科大前期【4】2022100100104の図

図1

問1 座標平面上に原点 O を中心とし,半径が a で中心角は π2 より小さい扇形 BOA がある.ただし,点 A の座標は ( a,0 ) であり,点 B は第 1 象限にある.この扇形を y 軸方向に ba 倍に縮小した図形を COA で表す.ここで点 C は,点 B の座標を ( x0, y0 ) としたときに座標が ( x0, ba y0) となる点であり, ∠COA= π4 とする.図形 COA は図1の灰色部分である.

(1) 扇形 BOA の中心角 ∠BOA α を用いて表せ.

(2) 図形 COA の面積を a b α を用いて表せ.

(3) 図形 COA を楕円 x2b 2+ y2 a2 =1 によって 2 つの図形に分けたとき,原点 O を含む方の図形の面積を m A を含む方の図形の面積を n とする. m n a b α を用いてそれぞれ表せ.

2022年旭川医科大前期【4】2022100100104の図

図2

問2 座標平面上で次の不等式の表す 4 つの領域を考える.

x 2a2 + y2 b2 1 の表す領域を U 0 x 2a2 + y2b 2 1 の表す領域を U 1

x 2b2 + y 2a2 1 の表す領域を V 0 x 2b2 + y2a 2 1 の表す領域を V 1

とする.さらに S =U0 V0 T=( V0 V1) ( U1 V0 ) の面積をそれぞれ s t とする.図2において,灰色部分が領域 S 4 つの斜線部分が領域 T である.

(1)  s=t となるときの α の値を求めよ.

(2)  a b a 2+b 2=1 を満たしながら変化するとき, ST の面積が最大となる α の値を α 0 とする. α=α 0 のとき, s t の大小を比較せよ.

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