2022 浜松医科大学 前期医学部

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2022 浜松医科大学 前期

医学科

易□ 並□ 難□

【1】 媒介変数 t t0 に対して, x= 43 t 32 y=2 t で表される曲線 C 上に点 P 1 P 2 がある.原点から点 P 1 までの曲線の長さは 289 であり,点 P 2 における曲線 C の接線の傾きは 13 である.以下の問いに答えよ.

(1) 点 P 1 の座標 ( x1, y1) を求めよ.

(2) 点 P 2 の座標 ( x2, y2 ) を求めよ.

(3) 曲線 C y 軸,および 2 直線 y =y1 y=y 2 で囲まれた図形を, y 軸の周りに 1 回転してできる回転体を考える.この回転体の体積を求めよ.

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【2】  s を実数, t 0 以上の実数とし,関数 f (x )

f( x)= x3-s x2 +(t -2s 2) x+st

により定める.関数 f (x ) に対して次の条件 p を考える.

p 0x 1 を満たすすべての x に対して f (x )>0 である.

このとき,条件 p を満たす点 ( s,t ) の領域を図示せよ.

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【3】 以下の問いに答えよ.

(1)  e を自然対数の底とする.このとき,すべての自然数 n について

ex 1+ k=1 n xkk ! x0

を証明せよ.

(2) 半径 1 の円に外接する正 12 角形の面積を求めよ.ただし,正 12 角形が円に外接するとは,正 12 角形のすべての辺が 1 つの円に接することである.

(3) (1)と(2)を用いて,不等式

π-e< 35

を証明せよ.ただし, 3>1.73 は証明なしに用いてよい.

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【4】 次の問題

問題

表面と裏面が出る確率がそれぞれ 12 であるコインを投げる試行を繰り返し,同じ面が 3 回連続して出た時点で試行を終了する. n 回投げ終えた段階で試行が終了する確率 p n を求めよ.

に対する次の答案 A について以下の問いに答えよ.

(1) もし答案 A に誤りがあれば誤りを指摘し,その理由を述べよ.ただし,すでに指摘してある誤った結論から論理的に導き出された結論を誤りとして指摘する必要はない.誤りがないときは「誤りなし」と答えよ.

(2) 答案 A で導かれた p n と正解の p n とで値が異なるとき,値が異なる最小の n を求め,その n に対する正解の p n の値を答えよ.そのような n がないときは「すべて一致する」と答えよ.

答案 A

自然数 n に対して,コインを n 回投げ終えた段階で,その後最短で試行が終了するために必要な回数が k k 0 である確率を pn (k ) とする.このとき, k 0 1 2 のいずれかであるから,確率の総和は

pn (0) +pn (1 )+p n( 2)= 1

である.また,

pn (0 )=p n pn+ 1( 0)= 12 p n( 1) pn+ 2( 0)= 14 p n( 2)

であるから漸化式

pn+ 2p n+1 +4p n+2 =1 n 1

を得る.ここで, 17 + 27+ 47 =1 なので, qn= 2n (pn 17 ) とすれば

qn+ qn+1 +q n+2 =0

である.よって n 4 に対して

qn= -qn- 1q n2 =(q n2 +qn 3) -qn 2=q n-3

が成立する.以上より,

Q( n) ={ q1 n 3 で割ったときの余りが 1 のとき) q2 n 3 で割ったときの余りが 2 のとき) q3 n 3 で割り切れるとき)

とすれば求める確率は

pn= qn 2n + 17= Q (n )2 n+ 17 n4

である.また,最初の 2 項は定義より p 1=p2 =0 であり p n の漸化式で n =1 とすれば p 1+2 p2+ 4p3 =1 であるから p 3= 14 である.さらに

q1= 2 7 q2= 4 7 q3= 67

である.したがって

p1= p2= 0 p3= 14 pn= Q (n )2 n+ 17 n4

となる.

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