2022 滋賀大学 後期経済学部

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2022 滋賀大学 後期経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  0x 2 π3 とし,関数 f (x )

f( x)= sinx- cosx+ sin2 x+2

と定める. t=sin x-cos x とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)  f( x) t を用いて表せ.

(2)  t の値の範囲を求めよ.

(3)  k を定数とする.方程式 f (x )=k が異なる 2 つの実数解をもつような k の値の範囲を求めよ.

(4)  f( x) が最大値をとる x の値を a とおくとき, sina の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  t を定数とする. 3 P Q R

P (-t 2+2 t,2 t2+ t)

Q (t+2 ,3t -4)

R (-t 2+3 t+1+ 23 ,2t 2-t- 2+3 )

とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  PQ と同じ向きの単位ベクトルを求めよ.

(2)  R は直線 PQ 上にないことを示せ.

(3)  ∠RPQ が鋭角となる t の値の範囲を求めよ.

(4)  ▵PQR が鋭角三角形となる t の値の範囲を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  1 枚のコインを投げる試行を繰り返し, n 回目の試行において,表が出たとき a n=1 裏が出たとき a n=0 とする. a1 a2 an- 1 an から得られる整数 M n

Mn = k= 1n 2n- k ak =2n 1 a1+ 2n2 a 2+ +21 an 1+ 20 an

と定める. Mn 3 で割った余りが 1 である確率を P n とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  M1 M2 M3 のとり得る値をそれぞれすべて求めよ.

(2)  P1 P2 P3 をそれぞれ求めよ.

(3)  Mn 3 の倍数であるとき, Mn+ 1 3 で割った余りが 1 になる確率を求めよ.

(4)  Pn n を用いて表せ.

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【4】  a を定数とする.整式 f (x )

f(x) =a 01 xt f( t) dt + 0x (x t) dt+ x1 (t- x) dt

を満たしている. b= 01 tf (t ) dt とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)  0x (x- t) dt+ x1 (t- x) dt を求めよ.

(2)  b a を用いて表せ.

(3)  01 f( x) dx=1 のとき, a の値および f (x ) を求めよ.

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