2022 京都府立医科大学 前期

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2022 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  t 0 <t<1 を満たす実数とする.平面上の ▵ABC に対して,辺 BC CA AB をそれぞれ t :(1 -t ) に内分する点を D E F とする.

(1)  ▵ABC の重心と ▵DEF の重心は一致することを証明せよ.

(2)  ▵ABC の面積を S とし, ▵DEF の面積を T とする. TS t を用いて表し, TS の最小値を求めよ.

(3)  AB=3 BC=5 CA=4 とする. ▵DEF が直角三角形になるような t の値をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x )=x e- x について以下の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) の増減,極値,凹凸を調べ, y=f (x ) のグラフの概形をかけ.

(2)  (m ,n) m +n=10 かつ m n を満たす整数の組とする.このような組 ( m,n ) に対して f (m )+f (n ) を考えるとき, f( m)+ f( n) の値が最大となる組 ( m,n ) を求めよ.ただし,必要ならば 52< e<3 であることは用いてよい.

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易□ 並□ 難□

【3】  n m は自然数とする.赤玉と白玉の入った n 個の箱があり,次の条件(a),(b),(c)を満たすとする.

(a) それぞれの箱には赤玉と白玉が合計 n 個入っている.

(b) 赤玉はどの箱にも 1 個以上入っている.一方,白玉が入っていない箱はあってもよい.

(c) それぞれの箱に入っている赤玉の個数は互いに異なる.

 以下の試行 T を行う.

T :太郎さんは n 個の箱からひとつの箱を無作為に選び花子さんに渡す.花子さんは渡された箱の中から「無作為に玉をひとつ取り出し,色を確認し同じ箱にもどす作業」を n +2 回繰り返す.

(1) 試行 T において, 1 回目から m 回目までに取り出した玉がすべて赤玉である事象を X とし,その確率を p n とする.このとき limn p n m を用いて表せ.

(2) 試行 T において, m+1 回目と m +2 回目に取り出した玉のうち,少なくとも 1 個が赤玉である事象を Y とする.(1)の事象 X が起こったときの事象 Y の起こる条件付き確率 PX (Y ) q n とする.このとき limn q n m を用いて表せ.

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易□ 並□ 難□

【4】  n 3 以上の整数とする.正 n 角形の外接円の半径を正 n 角形の半径とよぶ.

  2n +2 個の面で囲まれた凸多面体で,次の 2 つの条件(a),(b)を満たすものを A n とする.

(a)  2 個の半径 1 の正 n 角形を面にもち,それらは平行である.

(b) (a)の 2 個の面の他に互いに合同な 2 n 個の正三角形を面にもつ.

 例えば, A3 は正八面体になる. θ= πn とおく.

(1)  An の辺の数を n を用いて表せ.

(2) 条件(b)の正三角形の高さを θ を用いて表せ.

 条件(a)の 2 つの面の間の距離(一方の面から他方の面へ引いた垂線の長さ)を H とする.

(3)  H θ を用いて表せ.

(4)  An の体積を V とするとき, V nH θ を用いて表せ.

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