2022 和歌山県立医科大学 前期

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2022 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.

(1)  n( n-1 ) 4 の倍数ならば, n 4 の倍数である」か,あるいは n-1 4 の倍数である」かのいずれかであることを示せ.

(2)  n 2 桁の自然数であるとする. n( n-1 ) 100 の倍数ならば, n 4 の倍数で, n-1 25 の倍数である」か,あるいは n 25 の倍数で, n-1 4 の倍数である」かのいずれかであることを示せ.

(3)  n 4 桁の自然数であるとする. n2 の下 4 桁が n と一致するような n を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  α 0 でない複素数とする.以下, i は虚数単位とする.

(1)  α=a +bi a b は実数)と表すとき, z2= α をみたす複素数 z =x+y i x y は実数)について, x2 y 2 をそれぞれ a b を用いて表せ.さらに α =-2 -2 i のときの z を求めよ.

(2)  α=r (cos θ+i sinθ ) と極形式で表すとき, z2= α をみたす 2 つの複素数を r θ を用いて表せ,また, α が正の実数でもないとき, z2= α をみたす 2 つの複素数と α 3 点を頂点とする三角形の面積 S r θ を用いて表せ.

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【3】(1) 関数 f (x )= (x 2-x )3 の増減,極値,グラフの凹凸,および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.

(2) (1)を参考にして,関数 g (x )= |x2 -x| 3 のグラフの概形をかけ.

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易□ 並□ 難□

【4】(1)  cos π 12 の値を求めよ.

(2) 等式

sin2 xcos ( π6 -x)- 12 cosx =cosx sin( 2x- α)

0 x π 2 で成り立つような α を求めよ.ただし, 0<α < π2 とする.

(3) 関数

f( x)= sin2 xcos ( π6- x)- 12 cos x (0 x π2 )

について, f( β)= 0 (0< β< π2 ) をみたす β を求め, 0β f( x) dx を求めよ.

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