2022 山陽小野田市立山口東京理科大学 後期薬学部

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2022 山口東京理科大学 後期

薬学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面, yz 平面,および, zx 平面と交わる半径 5 の球を考える.球の中心の x y 平面からの距離を 3 yz 平面からの距離を 2 zx 平面からの距離を 4 とする.さらに,球の中心の x 座標は負, y 座標は負, z 座標は正であるとする.このとき,次の(1)〜(3)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,分数は既約分数とする.

(1) 球と x y 平面の交わりが作る円の方程式は,

x2 + x+ y2 + y+ = 0 z=0

となる.

(2)  xy 平面上で(1)で求めた円に接し,原点 ( 0,0 ) を通る 2 つの直線の式は,

y=0 y =- x

となる.

(3) 球と各平面の交わりが作る 3 つの円の中心を結んだ三角形の面積は,

となる.

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薬学部

配点40点

易□ 並□ 難□

【2】 ある病気の患者において,どの患者にも A 剤, B 剤によらず副作用を発現することが同様に確からしいものとする.その病気の患者 12 人をランダムに 6 人ずつ 2 グループに分け,ひとつのグループに A 剤,他のグループに B 剤を投与し,副作用の発現状況を調べた.その結果,全体として 5 人の患者に副作用が現れた.このとき,次の(1),(2)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし,分数は既約分数とする.

(1) 副作用が現れた 5 人のうち, 2 人だけが A 剤を投与した患者である確率は,

となる.

(2) 副作用が現れた 5 人のうち, A 剤を投与した患者が 2 人以下である確率は,

となる.

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易□ 並□ 難□

【3】 一辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE について,辺 AB の中点を F とし,線分 BE と線分 DF の交点を G とする.このとき,次の(1),(2)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.ただし, などは既出の などを表すものとする.

(1) 線分 BG の長さを下記の手順で求める.いま, ∠BGF=3 θ とする.このとき,線分 BG sin 3θ を用いて表すと BG = 1 sin3 θ となる.

 次に, sin3 θ sin θ の多項式として表すことを考える.このとき, sin3 θ=cos θ であることから, sin3 θ= - sin 2θ となる.また, sin3 θ=sin (2 θ+θ) = sin θ- sin 3θ となり,

sin3 θ- sin2 θ- sinθ + =0

となる.この方程式を sin θ について解くと, sinθ= - + となり, sin3 θ= + となる.従って, BG= - + となる.

(2)  AB =a BC =b とするとき, GA AD a b で表すと,

GA = - + (a +b )

AD = + b

となる.従って, GD a b で表すと

GD = - + a +( - + ) b

となる.

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易□ 並□ 難□

【4】 整数 m n に対して,次の式を考える.

an (m) =[ mn 10]

ただし, [x ] x を超えない最大の整数を表す.例えば, [1.3 ]=1 であり, [5 ]=5 となる.このとき,次の(1),(2)の   内のカタカナに当てはまる 0 9 までの数字を求め,解答用マークシートの指定された箇所のマークを塗りつぶしなさい.

(1)  1m 10 1n 10 であるとき, an (m) =1 となる m n の値の組は, 組存在する.

(2)  bn (m) =an (m )-a n-1 (m ) とする.このとき,

cm= k=1 100b k( m)

とすると, c2 の値は となり, m=1 10c m の値は となる.

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【5】  2 つの関数 f (x )=x 3+3 x2+ 3x g (x )=a 2x+ b a b は実数)を考える.このとき,次の(1),(2)の問題に答えなさい.解答は,解答用紙に導出過程も含めて記入しなさい.

(1)  a=3 b=8 のとき,曲線 y =f( x) と直線 y =g( x) で囲まれた部分の面積を求めなさい.

(2)  b=-1 のとき,曲線 y =f( x) と直線 y= g( x) 3 点で交わるような a の範囲を求めなさい.

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