2023　大学入学共通テスト　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　実数$x$についての不等式

$|x+6|\leqq 2$

の解は

$\text{アイ}\leqq x\leqq \text{ウエ}$

である．

　よって，実数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$が

$|(1-\sqrt{3})(a-b)(c-d)+6|\leqq 2$

を満たしているとき，$1-\sqrt{3}$は負であることに注意すると，$(a-b)(c-d)$のとり得る値の範囲は

$\text{オ}+\text{カ}\sqrt{3}\leqq (a-b)(c-d)$$\leqq \text{キ}+\text{ク}\sqrt{3}$

であることがわかる．

　特に

$(a-b)(c-d)=\text{キ}+\text{ク}\sqrt{3}$$\cdots \text{①}$

であるとき，さらに

$(a-c)(b-d)=-3+\sqrt{3}$$\cdots \text{②}$

が成り立つならば

$(a-d)(c-b)=\text{ケ}+\text{コ}\sqrt{3}$$\cdots \text{③}$

であることが，等式$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$の左辺を展開して比較することによりわかる．

【１】

［２］(1)　点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$5$である円$\mathrm{O}$がある．この円周上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を$\mathrm{AB}=6$となるようにとる．また，円$\mathrm{O}$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．

(ⅰ)　$\sin \mathrm{\angle ACB}=\text{サ}$である．また，点$\mathrm{C}$を$\mathrm{\angle ACB}$が鈍角となるようにとるとき，$\cos \mathrm{\angle ACB}=\text{シ}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$を$\mathrm{▵ABC}$の面積が最大となるようにとる．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を引き，直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\tan \mathrm{\angle OAD}=\text{ス}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{セソ}$である．

　$\text{サ}\text{〜}$$\text{ス}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　半径が$5$である球$S$がある．この球面上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとったとき，これらの$3$点を通る平面$\alpha$上で$\mathrm{PQ}=8\text{，}$$\mathrm{QR}=5\text{，}$$\mathrm{RP}=9$であったとする．

　球$S$の球面上に点$\mathrm{T}$を三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{TPQR}$の体積が最大となるようにとるとき，その体積を求めよう．

　まず，$\cos \mathrm{\angle QPR}={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$であることから，$\mathrm{▵PQR}$の面積は$\text{ツ}\sqrt{\text{テト}}$である．

　次に，点$\mathrm{T}$から平面$\alpha$に垂直な直線を引き，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{PH}\text{，}$$\mathrm{QH}\text{，}$$\mathrm{RH}$の長さについて，$\text{ナ}$が成り立つ．

　以上より，三角錐$\mathrm{TPQR}$の体積は$\text{ニヌ}(\sqrt{\text{ネノ}}+\sqrt{\text{ハ}})$である．

　$\text{ナ}$の解答群

【２】

［１］　太郎さんは，総務省が公表している$2020$年の家計調査の結果を用いて，地域による食文化の違いについて考えている．家計調査における調査地点は，都道府県庁所在市および政令指定都市（都道府県庁所在市を除く）であり，合計$52$市である．家計調査の結果の中でも，スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の$1$世帯当たり年間支出金額（以下，支出金額，単位は円）」を分析することにした．以下においては，$52$市の調理食品の支出金額をデータとして用いる．

　太郎さんは調理食品として，最初にうなぎのかば焼き（以下，かば焼き）に着目し，図１のように$52$市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した．ただし，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　なお，以下の図や表については，総務省のWebページをもとに作成している．

(1)　図１から次のことが読み取れる．

・第$1$四分位数が含まれる階級は$\text{ア}$である．

・第$3$四分位数が含まれる階級は$\text{イ}$である．

・四分位範囲は$\text{ウ}\text{．}$

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{ウ}$の解答群

(2)　太郎さんは，東西での地域による食文化の違いを調べるために，$52$市を東側の地域$\mathrm{E}$$\text{（}19$市）と西側の地域$\mathrm{W}$$\text{（}33$市）の二つに分けて考えることにした．

(ⅰ)　地域$\mathrm{E}$と地域$\mathrm{W}$について，かば焼きの支出金額の箱ひげ図を，図２，図３のようにそれぞれ作成した．

　かば焼きの支出金額について，図２と図３から読み取れることとして，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，正しいものは$\text{エ}$である．

　$\text{エ}$の解答群

(ⅱ)　太郎さんは，地域$\mathrm{E}$と地域$\mathrm{W}$のデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い，それぞれの分散を考えることにした．地域$\mathrm{E}$におけるかば焼きの支出金額の分散は，地域$\mathrm{E}$のそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差の$\text{オ}$である．

　$\text{オ}$の解答群

(3)　太郎さんは，(2)で考えた地域$\mathrm{E}$における，やきとりの支出金額についても調べることにした．

　ここでは地域$\mathrm{E}$において，やきとりの支出金額が増加すれば，かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え，まず図４のように，地域$\mathrm{E}$における，やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した．そして，相関係数を計算するために，表１のように平均値，分散，標準偏差および共分散を算出した．ただし，共分散は地域$\mathrm{E}$のそれぞれの市における，やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である．

　表１を用いると，地域$\mathrm{E}$における，やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数は$\text{カ}$である．

　$\text{カ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

【２】

［２］　太郎さんと花子さんは，バスケットボールのプロ選手の中には，リングと同じ高さでシュートを打てる人がいることを知り，シュートを打つ高さによってボールの軌道がどう変わるかについて考えている．

　二人は，図１のように座標軸が定められた平面上に，プロ選手と花子さんがシュートを打つ様子を真横から見た図をかき，ボールがリングに入った場合について，後の仮定を設定して考えることにした．長さの単位はメートルであるが，以下では省略する．

(1)　放物線$C_1$の方程式における$x^2$の係数を$a$とする．放物線$C_1$の方程式は

$y=a{x}^2-\text{キ}ax+\text{ク}$

と表すことができる．また，プロ選手の「シュートの高さ」は

$-\text{ケ}a+\text{コ}$

である．

　放物線$C_2$の方程式における$x^2$の係数を$p$とする．放物線$C_2$の方程式は

$y=p{\{x-(2-{\displaystyle \frac{1}{8p}})\}}^2-{\displaystyle \frac{{(16p-1)}^2}{64p}}+2$

と表すことができる．

　プロ選手と花子さんの「ボールが最も高くなるときの地上の位置」の比較の記述として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，正しいものは$\text{サ}$である．

　$\text{サ}$の解答群

(2)　二人は，ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの「シュートの高さ」について次のように話している．

　図２のように，$\mathrm{M}$を通る直線$l$が，$\mathrm{A}$を中心とする半径$0.1$の円に直線$\mathrm{AB}$の上側で接しているとする．また，$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を引き，$l$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}$である．

　よって，放物線$C_1$が$\mathrm{D}$を通るとき，$C_1$の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\text{シ}\sqrt{\text{ス}}}{\text{セソ}}}(x^2+\text{キ}x)+\text{ク}$

となる．

　また，放物線$C_2$が$\mathrm{D}$を通るとき，(1)で与えられた$C_2$の方程式を用いると，花子さんの「シュートの高さ」は約$3.4$と求められる．

　以上のことから，放物線$C_1$と$C_2$が$\mathrm{D}$を通るとき，プロ選手と花子さんの「シュートの高さ」を比べると，$\text{タ}$の「シュートの高さ」の方が大きく，その差はボール$\text{チ}$である．なお，$\sqrt{3}=1.7320508\cdots$である．

　$\text{タ}$の解答群

　$\text{チ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

【３】　番号によって区別された複数の球が，何本かのひもでつながれている．ただし，各ひもはその両端で二つの球をつなぐものとする．次の条件を満たす球の塗り分け方（以下，球の塗り方）を考える．

　例えば図$\mathrm{A}$では，三つの球が$2$本のひもでつながれている．この三つの球を塗るとき，球$1$の塗り方が$5$通りあり，球$1$を塗った後，球$2$の塗り方は$4$通りあり，さらに球$3$の塗り方は$4$通りある．したがって，球の塗り方の総数は$80$である．

(1)　図$\mathrm{B}$において，球の塗り方は$\text{アイウ}$通りある．

(2)　図$\mathrm{C}$において，球の塗り方は$\text{エオ}$通りある．

(3)　図$\mathrm{D}$における球の塗り方のうち，赤をちょうど$2$回使う塗り方は$\text{カキ}$通りある．

(4)　図$\mathrm{E}$における球の塗り方のうち，赤をちょうど$3$回使い，かつ青をちょうど$2$回使う塗り方は$\text{クケ}$通りある．

(5)　図$\mathrm{D}$において，球の塗り方の総数を求める．

　そのために，次の構想を立てる．

　図$\mathrm{F}$では球$3$と球$4$が同色になる球の塗り方が可能であるため，図$\mathrm{D}$よりも図$\mathrm{F}$の球の塗り方の総数の方が大きい．

　図$\mathrm{F}$における球の塗り方は，図$\mathrm{B}$における球の塗り方と同じであるため，全部で$\text{アイウ}$通りある．そのうち球$3$と球$4$が同色になる球の塗り方の総数と一致する図として，後の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうち，正しいものは$\text{コ}$である．したがって，図$\mathrm{D}$における球の塗り方は$\text{サシス}$通りある．

　$\text{コ}$の解答群

(6)　図$\mathrm{G}$において，球の塗り方は$\text{セソタチ}$通りある．

【４】　色のついた長方形を並べて正方形や長方形を作ることを考える．色のついた長方形は，向きを変えずにすき間なく並べることとし，色のついた長方形は$\stackrel{\text{じゅうぶん}}{\text{十分}}$あるものとする．

(1)　横の長さが$462$で縦の長さが$110$である赤い長方形を，図１のように並べて正方形や長方形を作ることを考える．

　$462$と$110$の両方を割り切る素数のうち最大のものは$\text{アイ}$である．

　赤い長方形を並べて作ることができる正方形のうち，辺の長さが最小であるものは，一辺の長さが$\text{ウエオカ}$のものである．

　また，赤い長方形を並べて正方形ではない長方形を作るとき，横の長さと縦の長さの差の絶対値が最小になるのは，$462$の約数と$110$の約数を考えると，差の絶対値が$\text{キク}$になるときであることがわかる．

　縦の長さが横の長さより$\text{キク}$長い長方形のうち，横の長さが最小であるものは，横の長さが$\text{ケコサシ}$のものである．

(2)　花子さんと太郎さんは，(1)で用いた赤い長方形を$1$枚以上並べて長方形を作り，その右側に横の長さが$363$で縦の長さが$154$である青い長方形を$1$枚以上並べて，図２のような正方形や長方形を作ることを考えている．

　このとき，赤い長方形を並べてできる長方形の縦の長さと，青い長方形を並べてできる長方形の縦の長さは等しい．よって，図２のような長方形のうち，縦の長さが最小のものは，縦の長さが$\text{スセソ}$のものであり，図２のような長方形は縦の長さが$\text{スセソ}$の倍数である．

　二人は，次のように話している．

　$462$と$363$の最大公約数は$\text{タチ}$であり，$\text{タチ}$の倍数のうちで$\text{スセソ}$の倍数でもある最小の正の整数は$\text{ツテトナ}$である．

　これらのことと，使う長方形の枚数が赤い長方形も青い長方形も$1$枚以上であることから，図２のような正方形のうち，辺の長さが最小であるものは，一辺の長さが$\text{ニヌネノ}$のものであることがわかる．

【５】(1)　円$\mathrm{O}$に対して，次の手順１で作図を行う．

　このとき，直線$l$と点$\mathrm{D}$の位置によらず，直線$\mathrm{EH}$は円$\mathrm{O}$の接線である．このことは，次の構想に基づいて，後のように説明できる．

　手順1の(Step1)と(Step4)により，$4$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\text{ウ}$は同一円周上にあることがわかる．よって，$\mathrm{\angle CHG}=\text{エ}$である．一方，点$\mathrm{E}$は円$\mathrm{O}$の周上にあることから，$\text{エ}=\text{オ}$がわかる．よって，$\mathrm{\angle CHG}=\text{オ}$であるので，$4$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\text{カ}$は同一円周上にある．この円が点$\text{ウ}$を通ることにより，$\mathrm{\angle OEH}=\text{アイ}\mathrm{°}$を示すことができる．

　$\text{ウ}$の解答群

　$\text{エ}$の解答群

　$\text{オ}$の解答群

　$\text{カ}$の解答群

(2)　円$\mathrm{O}$に対して，(1)の手順１とは直線$l$の引き方を変え，次の手順２で作図を行う．

　このとき．$\mathrm{\angle PTS}=\text{キ}$である．

　円$\mathrm{O}$の半径が$\sqrt{5}$で，$\mathrm{OT}=3\sqrt{6}$であったとすると，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る円の半径は${\displaystyle \frac{\text{ク}\sqrt{\text{ケ}}}{\text{コ}}}$であり，$\mathrm{RT}=\text{サ}$である．

　$\text{キ}$の解答群

【１】

［２］　$U$を全体集合とし，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$U$の部分集合とする．$U$の部分集合$X$に対して，$X$の補集合を$\bar{X}$で表す．

(1)　$U\text{，}$$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の関係を図１のように表すと，例えば，$A\cap (B\cup C)$は$A$と$B\cup C$の共通部分で，$B\cup C$は図２の斜線部分なので，$A\cap (B\cup C)$は図３の斜線部分となる．

　このとき，$(A\cap \bar{C})\cup (B\cap C)$は$\text{サ}$の斜線部分である．

　$\text{サ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

(2)　全体集合$U$を

$U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

とする．また，$U$の部分集合$A\text{，}$$B$を次のように定める．

$A=\{0,2,3,4,6,8,9\}\text{，}$$B=\{1,3,5,6,7,9\}$

(ⅰ)　このとき

$A\cap B=\{\text{シ},\text{ス},\text{セ}\}$

$\bar{A}\cap B=\{\text{ソ},\text{タ},\text{チ}\}$

である．ただし

$\text{シ}<\text{ス}<\text{セ}\text{，}$$\text{ソ}<\text{夕}<\text{チ}$

とする．

(ⅱ)　$U$の部分集合$C$は

$(A\cap \bar{C})\cup (B\cap C)=A$

を満たすとする．このとき，次のことが成り立つ．

・$\bar{A}\cap B$の$\text{ツ}\text{．}$

・$A\cap \bar{B}$の$\text{テ}\text{．}$

　$\text{ツ}\text{，}$$\text{テ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【２】(1)　点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$5$である円$\mathrm{O}$がある．この円周上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を$\mathrm{AB}=6$となるようにとる．また，円$\mathrm{O}$の円周上に，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．

(ⅰ)　$\sin \mathrm{\angle ACB}=\text{ア}$である．また，点$\mathrm{C}$を$\mathrm{\angle ACB}$が鈍角となるようにとるとき，$\cos \mathrm{\angle ACB}=\text{イ}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$を$\mathrm{\angle ACB}$が鈍角で$\mathrm{BC}=5$となるようにとる．このとき，$\mathrm{AC}=\text{ウ}\sqrt{\text{エ}}-\text{オ}$である．

(ⅲ)　点$\mathrm{C}$を$\mathrm{▵ABC}$の面積が最大となるようにとる．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に垂直な直線を引き，直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\tan \mathrm{\angle OAD}=\text{カ}$である．また，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{キク}$である．

(ⅵ)　点$\mathrm{C}$を，(ⅲ)と同様に，$\mathrm{▵ABC}$の面積が最大となるようにとる．このとき，$\tan \mathrm{\angle ACB}=\text{ケ}$である．

　さらに点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AC}$に垂直な直線を引き，直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \mathrm{\angle BCE}=\text{コ}$である．

　点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{CE}$上にとるとき，$\mathrm{BF}$の長さの最小値は${\displaystyle \frac{\text{サシ}\sqrt{\text{スセ}}}{\text{ソ}}}$である．

　$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}\text{，}$$\text{カ}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　半径が$5$である球$S$がある．この球面上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとったとき，これらの$3$点を通る平面$\alpha$上で$\mathrm{PQ}=8\text{，}$$\mathrm{QR}=5\text{，}$$\mathrm{RP}=9$であったとする．

　球$S$の球面上に点$\mathrm{T}$を三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{TPQR}$の体積が最大となるようにとるとき，その体積を求めよう．

　まず，$\cos \mathrm{\angle QPR}={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}$であることから，$\mathrm{▵PQR}$の面積は$\text{ツ}\sqrt{\text{テト}}$である．

　次に，点$\mathrm{T}$から平面$\alpha$に垂直な直線を引き，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，$\mathrm{PH}\text{，}$$\mathrm{QH}\text{，}$$\mathrm{RH}$の長さについて，$\text{ナ}$が成り立つ．

　以上より，三角錐$\mathrm{TPQR}$の体積は$\text{ニヌ}(\sqrt{\text{ネノ}}+\sqrt{\text{ハ}})$である．

　$\text{ナ}$の解答群

【３】　太郎さんは，総務省が公表している$2020$年の家計調査の結果を用いて，地域による食文化の違いについて考えている．家計調査における調査地点は，都道府県庁所在市および政令指定都市（都道府県庁所在市を除く）であり，合計$52$市である．家計調査の結果の中でも，スーパーマーケットなどで販売されている調理食品の「二人以上の世帯の$1$世帯当たり年間支出金額（以下，支出金額，単位は円）」を分析することにした．以下においては，$52$市の調理食品の支出金額をデータとして用いる．

　太郎さんは調理食品として，最初にうなぎのかば焼き（以下，かば焼き）に着目し，図１のように$52$市におけるかば焼きの支出金額のヒストグラムを作成した．ただし，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．

　なお，以下の図や表については，総務省のWebページをもとに作成している．

(1)　図１から次のことが読み取れる．

・中央値が含まれる階級は$\text{ア}$である．

・第$1$四分位数が含まれる階級は$\text{イ}$である．

・第$3$四分位数が含まれる階級は$\text{ウ}$である．

・四分位範囲は$\text{エ}\text{．}$

　$\text{ア}\text{〜}$$\text{ウ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

　$\text{エ}$の解答群

(2)　太郎さんは，東西での地域による食文化の違いを調べるために，$52$市を東側の地域$\mathrm{E}$$\text{（}19$市）と西側の地域$\mathrm{W}$$\text{（}33$市）の二つに分けて考えることにした．

(ⅰ)　地域$\mathrm{E}$と地域$\mathrm{W}$について，かば焼きの支出金額の箱ひげ図を，図２，図３のようにそれぞれ作成した．

　かば焼きの支出金額について，図２と図３から読み取れることとして，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，正しいものは$\text{オ}$である．

　$\text{オ}$の解答群

(ⅱ)　太郎さんは，地域$\mathrm{E}$と地域$\mathrm{W}$のデータの散らばりの度合いを数値でとらえようと思い，それぞれの分散を考えることにした．地域$\mathrm{E}$におけるかば焼きの支出金額の分散は，地域$\mathrm{E}$のそれぞれの市におけるかば焼きの支出金額の偏差の$\text{カ}$である．

　$\text{カ}$の解答群

(3)　太郎さんは，(2)で考えた地域$\mathrm{E}$における，やきとりの支出金額についても調べることにした．

　ここでは地域$\mathrm{E}$において，やきとりの支出金額が増加すれば，かば焼きの支出金額も増加する傾向があるのではないかと考え，まず図４のように，地域$\mathrm{E}$における，やきとりとかば焼きの支出金額の散布図を作成した．そして，相関係数を計算するために，表１のように平均値，分散，標準偏差および共分散を算出した．ただし，共分散は地域$\mathrm{E}$のそれぞれの市における，やきとりの支出金額の偏差とかば焼きの支出金額の偏差との積の平均値である．

(ⅰ)　表１を用いると，地域$\mathrm{E}$における，やきとりの支出金額とかば焼きの支出金額の相関係数は$\text{キ}$である．

　$\text{キ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{9}}$のうちから一つ選べ．

(ⅱ)　地域$\mathrm{E}$の$19$市それぞれにおける，やきとりの支出金額$x$とかば焼きの支出金額$y$の値の組を

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_{19},y_{19})$

とする．この支出金額のデータを千円単位に変換することを考える．地域$\mathrm{E}$において千円単位に変換した，やきとりの支出金額$x^{\prime }$とかば焼きの支出金額$y^{\prime }$の値の組を

$(x_1^{\prime },y_1^{\prime })\text{，}$$(x_2^{\prime },y_2^{\prime })\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_{19}^{\prime },y_{19}^{\prime })$

とすると

$\{\begin{array}{l}{x}_i^{\prime }={\displaystyle \frac{x_i}{1000}}\\ y_i^{\prime }={\displaystyle \frac{y_i}{1000}}\end{array}$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}19\text{）}$

と表される．このとき，次のことが成り立つ．

・$x^{\prime }$の分散は$\text{ク}$となる．

・$x^{\prime }$と$y^{\prime }$の相関係数は，$x$と$y$の相関係数$\text{ケ}\text{．}$

　$\text{ク}$の解答群

　$\text{ケ}$の解答群

【４】

[１]　$p$を実数とし，$f(x)=(x-2)(x-8)+p$とする．

(1)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点の座標は

$（\text{ア},\text{イウ}+p)$

である．

(2)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸との位置関係は，$p$の値によって次のように三つの場合に分けられる．

$p>\text{エ}$のとき，$2$次関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸と共有点をもたない．

$p=\text{エ}$のとき，$2$次関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸と点$(\text{オ},0)$で接する．

$p<\text{エ}$のとき，$2$次関数$y=f(x)$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．

(3)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-3\text{，}$$y$軸方向に$5$だけ平行移動した放物線をグラフとする$2$次関数$y=g(x)$とすると

$g(x)=x^2-\text{カ}x+p$

となる．

　関数$y=|f(x)-g(x)|$のグラフを考えることにより，関数$y=|f(x)-g(x)|$は$x={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$で最小値をとることがわかる．