2023 旭川医科大学 前期

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2023 旭川医科大学 前期

医学部(医学科)

易□ 並□ 難□

【1】  k を正の実数とし,原点を O とする座標平面上で媒介変数 t を用いて

x=f (t) =ek t cost y=g (t) =ek tsin t

と表される曲線 C を考える.曲線 C 上の点 P の座標を ( a,b ) とし, ka b を満たすものとする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1 点 P (a, b) における接線 l の傾きを a b k を用いて表せ.

問2 問1で求めた接線 l 上に点 P と異なる任意の点 Q (x, y) をとる.ベクトル OP とベクトル PQ とのなす角を θ とするとき, |cos θ| k を用いて表せ.

問3  tanα =k ( 0<α< π2 ) とする.関数 f (t ) α t π2 の範囲で減少関数であることを示せ.

問4  α を間3で定めた数とし, x1 =f( β) ( α<β< π2 ) とする.このとき, x 軸, y 軸,直線 x =x1 および曲線 C β t π 2 の部分によって囲まれる図形の面積を求めよ.

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医学部(医学科)

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【2】  a b を実数とする. x に関する 3 次方程式

(*)  x3- 3a x+b= 0

は虚数解をもち, 3 個の解は複素数平面上で一直線上にないものとする.このとき,次の各問いに答えよ.

問1(1)  a b の満たす条件を示し,それを a b 平面上に図示せよ.

(2) 方程式(*)の実数解を c とするとき,虚数解を a c および虚数単位 i を用いて表せ.

問2 複素数平面上で方程式(*)の 3 個の解を頂点とする三角形を K とする.

(1)  K が点 1 を中心とする半径 2 の円 |z- 1|= 2 に内接しているとき, a b の値を求めよ.

(2)  K が点 1 を中心とする半径 r の円に内接しているとき, K 3 つの頂点を表す複素数と半径 r a を用いてそれぞれ表し, a のとりうる値の範囲を求めよ.

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【3】 四面体 ABCD において, AB=4 BC=6 ∠ABC=∠BCD =60 ° とする.辺 AC AL :LC=1 :6 に内分する点 L をとり,点 A から辺 BC に垂線を下ろし,辺 BC との交点を M とする. AM BL との交点を P とするとき,次の各問いに答えよ.

問1 辺 AC の長さ,および内積 AB AC の値を求めよ.

問2  AP AB AC を用いて表せ.

問3 三角形 ABC を含む平面を α とする.点 D から平面 α に下ろした垂線と平面 α との交点は P に一致する.

(1)  PD の長さを求めよ.

(2)  PD 上に PQ =k PD となる点 Q をとる. AQ CD =0 のとき, k の値と四面体 QABC の体積を求めよ.ただし, 0<k< 1 とする.

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【4】 投げたときに表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨がある.この硬貨を繰り返し投げ, 3 回連続して同じ面が出るまで続けるゲームをする. n を自然数とし, n 回目, n+1 回目, n+2 回目に 3 回連続して表が出てゲームが終了するときの場合の数を a n とおく.このとき,次の各問いに答えよ.

問1  a1 a2 a3 a4 a5 をそれぞれ求めよ.求める過程も示せ.

問2  F1 =1 F2= 1 Fn+ 2=F n+F n+1 n=1 2 3 で定められた数列 { Fn } の一般項は, Fn= 1 5 {( 1+ 52 ) n- ( 1-5 2 )n } で与えられる.このとき,級数 n= 1 F n2n の和を求めよ.

問3  n 回目, n+1 回目, n+2 回目に 3 回連続して表が出てゲームが終了する確率を P n とおく.問2の結果を用いて,級数 n =1 Pn の和を求めよ.

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