2023 浜松医科大学 前期医学部

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2023 浜松医科大学 前期

医学科

易□ 並□ 難□

【1】 以下の枠内の問題

問題

 次の条件を満たす係数が整数の多項式 f (x ) を考える.

(Ⅰ)  f( 0) 4 で割り切れない.

(Ⅱ) 方程式 f (x )=0 x =1 で重解をもつ.

(Ⅲ) 方程式 f (x )=x (x -1) (x -2) は異なる整数解をもつ.

 このとき, f( 4) 36 で割ったときの余りを求めよ.

に対する次の答案 A に対して, 2 つの下線部(a)および(b)の詳しい証明を与えよ.ただし, 2 つの二重線部の事実は証明なしに用いてよい.

答案 A

 条件(Ⅱ)より,因数定理を用いれば f (x )= ( x-1) 2g (x ) を満たす係数が整数の多項式 g (x ) が存在する.このとき,条件(Ⅲ)を満たす整数解の中で 1 以外の解 x 0 をとれば,

(x 0-1 )g (x 0) =x0 (x 0-2) (#)

が成立する.ここで, g( x0 ) は整数であるから,(a)式(#)を満たす x 0 0 または 2 である.もし x 0=0 とすれば, f( 0)= 0 となり,この値は 4 で割り切れるから,条件(Ⅰ)に反する.ゆえに x 00 であるから x 0=2 であり,このとき,式(#)より

g( 2)= 0

であるから,再び因数定理を用いれば,

g( x)= (x- 2) h( x)

を満たす係数が整数の多項式 h (x ) が存在する.よって,

f( x)= (x- 1)2 ( x-2) h (x )

と表すことができるから,(b) h( 4) は奇数である.以上より,整数 m を用いて h (4 )=2 m+1 とおけば

f( 4)= 18h (4) =36m +18

であるから, f( 4) 36 で割ったときの余りは 18 である.

《編注》二重線は,原点では波線.

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【2】 医療で使われる技術の 1 つとして,磁気共鳴画像法(MRI)がある.MRIは画像の濃淡を表す関数,例えば

M( x)= limx I n( x) x は実数)

を用いて体内の様子を可視化する技術である.ここで, In ( x)

In (x )= 0n e -t cos( tx) dt ( n=1 2 3

である.以下の問いに答えよ.

(1) 定積分 I n( x) を求めよ.

(2) 極限 M (x )= limn I n( x) を求めよ.

(3) 関数 y =M( x) について,増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフをかけ.

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【3】  S を実部,虚部ともに整数であるような 0 以外の複素数全体の集合, T を偏角が 0 以上 π2 未満であるような S の要素全体の集合とする.ただし,複素数 z の偏角を arg z とするとき 0 argz <2π の範囲で考えることとする.また, i は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.

(1)  α=2 β=1 +i γ=1 のとき, |α β γ | の値を求めよ.

(2) 複素数 z について, argz = π8 のとき arg (i z) の値を求めよ.

(3)  α β γ T の要素とする.このとき, 0<| αβ γ| 5 を満たす α β γ の組の総数 k の値を求めよ.

(4)  α β γ S の要素とする.このとき, 0<| αβ γ| 5 および

π 8 arg( αβ γ) < 58 π

を満たす α β γ の組の総数を m とするとき, m k で割った商と余りを求めよ.

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【4】  ▵ABC において, BC=3 AC=b AB=c ∠ACB=θ とする. b c を素数とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)  b=3 c=5 のとき, cosθ の値を求めよ.

(2)  cosθ <0 のとき, c=b+ 2 が成り立つことを示せ.

(3)  - 58< cosθ <- 712 のとき, b c の値の組をすべて求めよ.

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