2023 京都府立医科大学 前期

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2023 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 次の条件(a),(b)を満たす凸多面体を考える.

(a) 面は正三角形または正方形である.

(b) 合同な 2 つの面は辺を共有しない.

 このとき,以下の問いに答えよ.

(1) 一つの頂点を共有する面の数は 4 であることを証明せよ.

(2) 正三角形と正方形の面の数をそれぞれ求めよ.

(3) 正八面体を平面で何回か切断することで条件(a),(b)を満たす凸多面体が得られる.どのように切断するのか説明せよ.

(4) (3)の切断で得られる凸多面体を F とし, F 1 辺の長さは 1 とする. F のすべての正三角形の面に接する球を B とする. B F の共通部分の体積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (t ) g( t) は微分可能でその導関数は連続であり,導関数 f ( t) g (t ) の値は同時に 0 になることはないとする.

  xy 平面上で媒介変数 t を用いて x =f( t) y=g (t ) と表される曲線 C を考える. C 上に点 P (f (t0 ),g (t 0) ) をとる.ただし t t0 ならば ( f(t ),g (t) )( f( t0) ,g( t0) ) を満たすとする. P を通る直線 l を考える. C 上に P と異なる点 Q (f (t) ,g( t) ) をとり, Q から l に垂線をおろし, l との交点を H とする.ただし, Q l 上にあるときは H =Q とする.

(1)  n は大きさ 1 l に垂直なベクトルとする.

| QH |= | n ˙PQ |

であることを証明せよ.

(2)  l P における C の接線であるための必要十分条件は, limt t0 | QH | | PQ | =0 であることを証明せよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  z 0 でない複素数とする. 0 以上の整数 n に対して, an= zn+ z n とおく.ここで z z と共役な複素数である.

(1)  an は実数であることを証明せよ.

(2)  z=1+ i とする.ただし i は虚数単位である. 0 以上の整数 k に対して, a4 k a4 k+1 a4 k+2 a4 k+3 を求めよ.

(3) 次の条件を満たす z をすべて求めよ.

条件: 0 以上のすべての整数 k に対して a 6k =a6 k+2 である.

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易□ 並□ 難□

【4】  a b 0 <b<1 <a を満たす実数とする. xy 平面上で方程式

x 2a2 + y2 a2-1 =1

で表される楕円を C とする. C と同じ焦点をもち,点 ( b,0) を通る双曲線を D とする. C D の共有点のうち第 1 象限にあるものを P とし,その x 座標を s とする. C で囲まれる部分と領域 0 xs との共通部分を K とし,直線 x =s D で囲まれる部分を L とする. K L x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積をそれぞれ VK VL とする.

(1)  s a b を用いて表せ.

(2) 点 P における C の接線と D の接線は垂直であることを証明せよ.

(3)  VK a b を用いて表せ.

(4)  s=1 であるとき,極限 lim a VLVK を求めよ.

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