2023 和歌山県立医科大学 前期

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2023 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 次の各方程式について,その方程式をみたす自然数の組 ( x,y ) は存在するか.存在するときはすべての組を求め,存在しないときはそのことを示せ.

(1)  4x y-12x -3y= 25

(2)  9x2 -4y 2=35

(3)  9x2 +18x-4 y2+ 16y=72

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易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面において方程式 15 x+28 y=0 が表す直線を L とする.

(1)  L 上にない格子点と L との距離の最小値を求めよ.ただし,格子点とは x y 平面上の点で x 座標と y 座標がともに整数であるものをいう.

(2) (1)の最小値を与える格子点の座標 ( x,y ) の中で, |x| +|y | が最小となるものを求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )

f( x)=- 1+x- |x |+| x-2|

とし, y=f (x ) のグラフを C とする.

(1)  C の概形をかけ.

(2)  a を実数とするとき, C と直線 y =ax との共有点の個数を求めよ.

(3) (2)の共有点の個数が 2 個以上であるような a に対し, C と直線 y =ax で囲まれた部分の面積を S (a ) とする. S( a) の最小値とそれをとる a を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  z を複素数とし, z z2 z3 が表す複素数平面上の点をそれぞれ A B C とする.これらは互いに異なりまた AB =AC であるとする.

(1) 上の条件をみたす z 全体を考えたとき, A はどのような図形を描くか.

(2)  A B C を結んだ図形が直角二等辺三角形になる z を求めよ.

(3)  A B C を結んだ図形が正三角形になる z を求め,そのときの三角形 ABC を図示せよ.

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