2024 福島大学 前期

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2024 福島大学 前期

共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(1)  22024 の一の位の数を求めなさい.

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共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(2)  |log e| x|| =1 をみたす x をすべて求めなさい.

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共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(3) 関数 f( x)=x3 (1- x)2 の導関数を求めなさい.

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共生システム理工学類

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【1】 以下の問いに答えなさい.

(4) 次の定積分の値を求めなさい.

01 x1- xdx

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共生システム理工学類

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【2】 以下の問いに答えなさい.

(1) 定数 a を用いて,関数 f (x)

f(x )=sin3 x+asin x (- π2x π2 )

と表す.このとき,以下の問いに答えなさい.

(a)  f( x) f( x) をそれぞれ求めなさい.

(b)  -π2 <x< π2 で常に f (x) 0 をみたす a の範囲を求めなさい.

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共生システム理工学類

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【2】 以下の問いに答えなさい.

(2) 不等式 |3 x-a|< 4 をみたす整数 x 1 2 3 3 つだけであるとき,定数 a のとりうる範囲を求めなさい.

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共生システム理工学類

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【3】  n を自然数とする. Sn= k=1 nk ( 12) k と表すとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  S1 の値を求めなさい.

(2)  Sn+1 -Sn を求めなさい.

(3)  Sn+1 -1 2S n を求めなさい.

(4)  Sn を求めなさい.

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共生システム理工学類

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【4】  4x2- 16x+y2 =0 と表される曲線 C について,以下の問いに答えなさい.

(1) 曲線 C 上の点 (3, 23 ) における接線の式を求めなさい.

(2) 曲線 C の概形をかきなさい.

(3) 点 (x ,y) が曲線 C 上を動くとき, x2y 2 x の式で表しなさい.

(4) 点 (x ,y) が曲線 C 上を動くとき, x2y 2 の最大値を求めなさい.

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食農学類類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(1) 以下の値を求めなさい.

11 +2 +1 2+3 +1 3+4 ++ 198 +99+ 199 +100

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(2)  22024 は何桁の数かを求めなさい.ただし, log102 =0.3010 を用いてよい.

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(3) 二項係数を用いた方程式

2×C5 n =C4 n +C6 n

の解 n を全て求めなさい.

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(4)  1 辺の長さが全て 1 の正四面体の体積 V を求めなさい.

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食農学類

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【6】 以下の問いに答えなさい.

(1) 次の関数 f( x)

f(x )=|sin x-a| 0 x2π

について,以下の問いに答えなさい.ただし, 0a1 とする.

(a)  a=0 のとき, f(x )= 12 の解を全て求めなさい.

(b)  a=1 2 のとき, f(x )=C がちょうど 4 つの解をもつ C の範囲を求めなさい.

(c)  f(x )= 34 がちょうど 3 つの解をもつ a の値を全て求めなさい.

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食農学類

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【6】 以下の問いに答えなさい.

(2)  a1=2 2an +1=a n+3 n= 1 2 3 で定められる数列 {a n} の一般項を求めなさい.

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食農学類

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【7】 点 O を原点とする x y 平面上に y= |1 3x 2-2| と表される曲線 C x2 +y2=16 と表される円 K がある.曲線 C と円 K との交点,円 K x 軸との交点のうち, x 座標が正のものをそれぞれ点 A B とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 点 A の座標を求めなさい.

(2) 曲線 C と円 K のグラフの概形をかきなさい.

(3)  ∠AOB の角度を求めなさい.

(4) 曲線 C と円 K で囲まれる図形のうち,曲線 C の上側にある部分の面積を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【1】 次の問いに答えなさい.

(1)  4x+1 -2x+ 2 -2 x2 における最大値および最小値を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【1】 次の問いに答えなさい.

(2) 多項式 P (x)= x5+a x2+b x+1 で割ると 6 あまり, x+2 で割ると -10 あまる.定数 a b の値を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【1】 次の問いに答えなさい.

(3)  z6=1 をみたす複素数 z をすべて求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【1】 次の問いに答えなさい.

(4) 次の方程式の実数解の個数は,定数 c の値によってどのように変わるか答えなさい.

x| x+1|- x=c

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人間社会(数理自然科学)学類

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【2】 次の問いに答えなさい.

(1)  n2 +4n-2 が整数となるような 3 以上の整数 n をすべて求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【2】 次の問いに答えなさい.

(2)(ⅰ) 次の方程式を解きなさい.

sinxcos xcos2 x=18 0 x<π

(ⅱ) (ⅰ)の解のうち最小のものを α とするとき,次の定積分を計算しなさい.

0α sinxcos xcos2 xdx

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人間社会(数理自然科学)学類

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【2】 次の問いに答えなさい.

(3) 不等式 0.4< log103< 0.5 を証明しなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【3】 次の問いに答えなさい.

(1) 青 4 個,赤 5 個,緑 7 個の計 16 個のボールをまぜて袋に入れ,袋から 3 個のボールを無作為に取り出す.

(ⅰ) 取り出したボールが 1 色のみとなる確率を求めなさい.

(ⅱ) 取り出したボールが 2 色のみとなる確率を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【3】 次の問いに答えなさい.

(2)  0 以上の整数 n について,関数 fn (x ) を次で定める.

[1]  f0( x)=2 x2-5 x-3

[2]  fn( x)=x fn-1 (x ) n 1

(ⅰ)  f1( x) を求めなさい.

(ⅱ)  1 以上の n について fn (x ) を求めなさい.

(ⅲ) 方程式 fn (x) =0 の解のうち正のものを an とするとき, n=1 an を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【4】 次の問いに答えなさい.

(1) 空間内の点 A (2,3 ,6) B (-4,1 ,9) C (1,p, q) および原点 O について次の問いに答えなさい.ただし p q は定数とする.

(ⅰ) 角 AOB の大きさ α を求めなさい.ただし 0α π とする.

(ⅱ) 角 AOC および角 BOC がいずれも直角となるとき, p q の値を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【4】 次の問いに答えなさい.

(2) 円 O に内接する四角形 ABCD があり, AB=2 BC=1 CD=3 DA=2 である.ここで頂点 A B C D は円 O の円周上にこの順に並んでいるとする.さらに角 BAD の大きさを θ とする.ただし 0<θ <π とする.次の問いに答えなさい.

(ⅰ) 対角線 BD の長さを求めなさい.

(ⅱ)  cosθ を求めなさい.

(ⅲ) 円 O の半径を求めなさい.

(ⅳ) 四角形 ABCD の面積を求めなさい.

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人間社会(数理自然科学)学類

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【5】 関数 f( x)=x2 +1-x について次の問いに答えなさい.

(1)(ⅰ)  x0 のとき f( x)>0 となることを示しなさい.

(ⅱ)  x>0 のとき f( x)>0 となることを示しなさい.

(2)  limx f(x ) を求めなさい.

(3)  f(x ) は単調減少であることを示しなさい.

(4) 関数 y=f (x) のグラフ上の点 (t ,f(t )) におけるこのグラフの接線について,傾きを a (t) y 軸切片を b( t) とする.

(ⅰ)  limt- a( t) を求めなさい.

(ⅱ)  limt b( t) を求めなさい.

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