2024 福島大学 後期

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2024 福島大学 後期

共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(1)  a+1 a=6 であるとき, a3+ 1a3 の値を求めなさい.

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共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(2) 二項係数 C3 24 の値を求めなさい.

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共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(3)  0xπ xπ 2 で定義された関数 y= 12 tanx y=sin x のグラフの 3 つの交点を頂点とする三角形の面積を求めなさい.

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共生システム理工学類

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えなさい.

(4)  |x+2 y+1|= x+2y+ 1 をみたす点 (x ,y) の集合を xy 平面上に図示しなさい.

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共生システム理工学類

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【1】 以下の問いに答えなさい.

(5)  xy 平面上において,直線 x=0 y=3 と曲線 y=e x で囲まれた図形の面積を求めなさい.

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共生システム理工学類

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【2】  log102 =0.3010 log103 =0.4771 log107 =0.8451 として,以下の問いに答えなさい.

(1)  10 の素因数分解を利用して log10 5 の値を求めなさい.

(2)  32024 の桁数 M を求めなさい.

(3)  32024 の最高位の数字を求めなさい.必要ならば, 32024 1 以上 10 未満の実数 A を用いて 32024 =A×10M -1 と表されることを用いてよい.

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共生システム理工学類

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【3】  a は正の定数とする. O を原点とする x y 平面上に,点 C (0, 1) を中心とする半径 1 の円と点 A (a,0 ) B (0,2 ) が与えられている.この円と線分 AB の交点を点 D とするとき,以下の問いに答えなさい.ただし,点 B D は異なるものとする.

(1) 点 D x 座標を a を用いて表しなさい.

(2) 与えられた円上に点 P (-1,1 ) をとり, ∠OPD 2 等分線と円の交点を点 E とする. ∠OCE の大きさを θ とするとき, tanθ a を用いて表しなさい.ただし,点 P E は異なるものとする.

(3) 点 E x 座標を X と表すとき, X a を用いて表しなさい.

(4)  lima X の値を求めなさい.

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共生システム理工学類

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【4】  f(x )=loge x g(x )=loge x h(x )=log2 x とする.このとき,以下の問いに答えなさい.ただし, f(x ) g(x ) h(x ) の定義域は x1 とする.

(1) 曲線 y=f (x) と曲線 y=g (x) の交点の座標を求めなさい.

(2) 曲線 y=g (x) と曲線 y=h (x) の交点の座標を求めなさい.

(3)  2g( x)-h (x) loge2 が常に成り立つことを示しなさい.また,等号が成り立つときの x の値を求めなさい.

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(1) 以下の値を求めなさい.

(33 )3

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(2)  0<x< π のとき,方程式 sinx =3 2 を満たす x を全て書きなさい.

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(3) 以下の値を求めなさい.

8log3 2× 2-log3 8

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(4) 多項式

(2n +1) (2n+ 3)+1

を因数分解しなさい.

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食農学類

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【5】 以下の問いに答えなさい.

(5) 以下の値を求めなさい.

20232025+ 1

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食農学類

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【6】 以下の問いに答えなさい.

(1) 次の漸化式

a1=10 an+1 =an +910 n n =1 23

で定める数列 { an} について,以下の問いに答えなさい.

(a)  a2 a3 の値を求めなさい.

(b)  an n を用いて表しなさい.

(c) 数列 {a n} の初項から第 n 項までの和 Sn n を用いて表しなさい.

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食農学類

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【6】 以下の問いに答えなさい.

(2)  3 つの円の半径はそれぞれ 3 2 5 であり,それぞれの円は他の 2 つの円と互いに外接しているとする.半径 3 の円の中心を点 A 半径 2 の円の中心を点 B 半径 5 の円の中心を点 C とするとき,以下の問いに答えなさい.

(a) 線分 AB 線分 BC 線分 CA の長さをそれぞれ求めなさい.

(b) ベクトルの内積 AB AC の値を求めなさい.

(c)  ▵ABC の面積を求めなさい.

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食農学類

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【6】 以下の問いに答えなさい.

(3)  ab とする.

1a +1b = 14

をみたす自然数の組 (a ,b) を全て求めなさい.

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食農学類

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【7】 高さが 1 以上 2 未満の直円錐に半径 1 の球が外接しているとする.球の中心から直円錐の底面に下ろした垂線の長さを x と表すとき,以下の問いに答えなさい.ただし,直円錐に球が外接しているとは,直円錐の底面の円周と頂点が球面上に あることであり, x の範囲は 0x <1 とする.

(1) 直円錐の底面積 S x を用いて表しなさい.

(2) 直円錐の底面積 S の最大値を求めなさい.

(3) 直円錐の体積 V x を用いて表しなさい.

(4) 直円錐の体積 V の最大値を求めなさい.

《原注》補足説明 本文中の「直円錐」は「直円すい」と同じである.

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