2024 京都府立医科大学 前期

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2024 京都府立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  x x0 ±1 である実数とし, f(x )= 1+x1 -x とおく. c は実数とし, x の方程式

(E)  x+f( x)+f (f( x))+ f(f (f( x))) =c

を考える.

(1)  f(f (f (f( x))) )=x であることを証明せよ.

(2)  x=α が方程式(E)の実数解であるとき

f(α ) f(f (α) ) f(f (f( α)) )

も(E)の実数解であることを証明せよ.

(3) (E)の実数解 x= α に対して

y1=α +f(f (α) ) y2=f (α) +f(f (f (α) ))

とおく. y1 y2 y 2 次方程式 y2 -cy-4 =0 の解であることを証明せよ.

(4)  c=3 のとき方程式(E)を解け.

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易□ 並□ 難□

【2】 以下のような硬貨投げを行う.

  1 枚の硬貨を投げて裏が出たら硬貨投げを終了し,表が出たら 1 枚の硬貨を加え 2 枚の硬貨を同時に投げる. 2 枚の硬貨のうち 1 枚でも裏が出たら硬貨投げを終了し,全部が表ならば 1 枚の硬貨を加え 3 枚の硬貨を同時に投げる. 3 枚のうち 1 枚でも裏が出たら硬貨投げを終了し,全部が表ならば 1 枚の硬貨を加え 4 枚の硬貨を同時に投げる.以下同様にして全部が表ならば 1 枚の硬貨を加えて硬貨投げを続ける.

  1 枚の硬貨から始めて,硬貨が n 枚のときに硬貨投げが終了する確率を pn n 1 とする.

(1)  pn n を用いて表せ.

(2) 無限級数の和 n=1 pn を求めよ.

(3)  P= n=1 p2n- 1 とおく. 0.6<P<0.62 であることを証明せよ.ここで n=1 p2 n-1 が収束することは用いてよい.

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【3】 半径 1 の円に内接する五角形 A 1A2 A3 A4A 5 を考える.線分 A 1A4 A 2A5 の交点を B とし, A 1A2 B は正三角形であるとする.また, A3 A2= A3A 4 とする. a=A1 A2 b=A4 A5 とおく.

(1) 線分 A3 B の長さを求めよ.

(2)  b a を用いて表せ.

(3) 五角形 A 1A2 A3 A4A 5 の面積 S a を用いて表し, S の最大値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  xyz 空間の点 A (-2, 0,0) B (2,-2 3,0 ) C (-1, 3,0) D (-1,3 ,3 32 ) を頂点とする四面体 ABCD K とする.実数 t に対して,方程式 x=t で表される平面を H とする.

(1)  -2t 2 のとき,平面 H K の辺 AB との共有点を P とする. P の座標を t を用いて表せ.

(2)  -2t- 1 のとき,平面 H K の辺 AC AD との共有点をそれぞれ Q R とする. Q R の座標を t を用いて表せ.

(3)  -1t 2 のとき,平面 H K の辺 BC BD との共有点をそれぞれ Q R とする. Q R の座標を t を用いて表せ.

(4)  K x 軸のまわりに 1 回転させるとき, K が通過する部分がつくる立体の体積 V を求めよ.

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