2024 和歌山県立医科大学 前期

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2024 和歌山県立医科大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】(1)  x を整数とし,

m=4 x+6x 2+2x+ 3

を考える. m が整数となる x とそのときの m を求めよ.

(2)  k を整数とし,三次方程式

x+3 x2+x-3 -k(x 2+2x+ 3)=0

を考える.この方程式が整数解を少なくとも一つ持つ様な k を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 漸化式 an+ 1=|a n|-3 で定められた数列 {a n} について,次の問いに答えよ.

(1)  a1=3 のときの a3 a4 を求めよ.また, a1=4 のときの a3 a4 を求めよ.さらに, a1=5 のときの a3 a4 を求めよ.

(2)  a1=3 l のとき, a1+a2 ++an= 0 となる n を求めよ.ただし, l は自然数とする.

(3)  a1=3 l-1 のとき, a1+a2 ++an =0 となる n を求めよ.ただし, l は自然数とする.

(4)  a1=3 l-2 のとき, a1+a2 ++an =0 となる n を求めよ.ただし, l は自然数とする.

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易□ 並□ 難□

【3】(1)  z+4z =-23 を満たす複素数 z を求め, zn が実数となる最小の自然数 n を求めよ.

(2)  0 でない複素数 z に対して, |z+ 4z| の最小値とその最小値をとる z を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 実数 a に対して, [a ] a 以下の最大の整数とする.

(1) 閉区間 [1.4 ,12] および閉区間 [ 1,13.2 ] に属する整数の個数をそれぞれ求めよ.

(2)  a<b のとき,閉区間 [ a,b] に属する整数の個数を, [a ] および [ b] を用いて表せ.

(3)  a1<b 1 a2<b 2 とする.座標平面上の長方形 {( x,y)| a1x b1 a2y b2} に属する格子点の個数を, [a1 ] [ b1] [ a2] [ b2] を用いて表せ.ただし,格子点とは座標平面上の点で x 座標と y 座標がともに整数であるものをいう.

(4) 正の実数 a に対して,座標平面上の正方形 {( x,y)| ax2 a ay2 a} に属する格子点の個数を N とし,この正方形の面積を S とする. a を限りなく大きくしたときの NS の極限を求めよ.

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