1915　旧制高校選抜試験MathJax

【１】　$x^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}-a^{-\frac{1}{2}}$なるとき${\displaystyle \frac{x+2+\sqrt{4x+x^2}}{x+2-\sqrt{4x+x^2}}}$の値如何．

【２】　次の三つの関係が同時に成立すべき$x\text{，}y$の値を求めよ．

$x^2-3xy+2y^2=3\text{，}2x^2+y^2=6\text{，}2x^2+6x=xy+3y$

【３】　$x:y:z=a:b:c$ならば

${\displaystyle \frac{x+a}{x-a}}+{\displaystyle \frac{y-b}{y+b}}-{\displaystyle \frac{2(z^2-c^2)}{z^2+c^2}}={\displaystyle \frac{8{(x+y+z)}^2{(a+b+c)}^2}{{(x+y+z)}^4-{(a+b+c)}^4}}$

なることを証せよ．

【４】　四十五度なる角の一つの辺の上に於て頂点$\mathrm{A}$より六尺の処に点$\mathrm{P}$を取りそれより他の辺へ垂線$\mathrm{P}{\mathrm{P}}_1$を下し其の足${\mathrm{P}}_1$より辺$\mathrm{AP}$へ垂線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を下し又其の足${\mathrm{P}}_2$より辺$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1$へ垂線${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$を下し此の如き方法を際限なく続け行ふとき此等の垂線の長さの和の極限を四捨五入の法に依りて寸位まで計算せよ．

【５】　$x$に関する二次方程式$x^2+ax+b=0\text{，}{x}^2+px+q=0$とが一つの共通根を有するとき其の異なる二つの根を根とせる二次方程式を作れ．

【６】　三角形の底辺の長さ及位置を与へ且底辺の一端より出ずる中線の長さを与へたるとき頂点の軌跡を求めよ．

【７】　円周上の一点$\mathrm{P}$より弦$\mathrm{AB}$に下せる垂線は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$より$\mathrm{P}$に於ける切線に下せる二つの垂線の比例中項なることを証明せよ．

【８】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は夫々相交はる二つの平面$P\text{，}Q$の上に在る定点なり$P\text{，}Q$の交りの上に一点$\mathrm{C}$を$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{CB}$の和が最小なる様に取ることを求む．