1923　旧制高校選抜試験MathJax

【１】　分子が分母より大にして且共に正なる分数の両項に同じ正の数を加ふるときは分数の値は減少することを証せよ．

【２】　$x+y+z={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=1$なるときは$x\text{，}y\text{，}z$の中少なくとも一つは$1$に等しきことを証せよ．

【３】　連立方程式${\displaystyle \frac{x}{y}}+{\displaystyle \frac{2y}{x}}=3\text{，}{x}^2+y^2+1=2x$を満足する$x\text{，}y$の実数値は存在せざることを証し然る後此の方程式を解け．

【４】　甲乙両地間の距離は$385$哩なり$\mathrm{A}$号飛行機は甲地を出発して乙地に向ひたる後$1$時間を経て$\mathrm{B}$号飛行機は乙地を出発して甲地に向へり而して途中行違ひたる後$\mathrm{A}$号は$2$時$55$分間にて乙地に着し$\mathrm{B}$号は$3$時間にて甲地に着せり．両飛行機の速さは毎時幾哩なるか．

【５】　或整数を二等分し其商に端数あらば之を棄て次に此得たる整数を二等分し其商に端数あらば之を棄つ此の如くすること$n$回にして最後のものは$1$となりたり此の如き整数の最大なるもの及最小なるものは何なるか．

【６】　定直線$\mathrm{XY}$の同じ側に二定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あり．今$XY$上に二点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を求め$\mathrm{BC}$の長さを与へられたる線分$I$に等からしめ且つ$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$の和を最小ならしめよ．

【７】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$上に二点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$あり．$\mathrm{P}$より二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に至る距離の包む矩形と$\mathrm{Q}$より二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に至る距離の矩形と等積なるときは$\mathrm{BP}$は$\mathrm{QC}$に等しきことを証せよ．

【８】　定点より定直線上の任意の一点へ引ける線分を内分し其線分と定点より分点に至る部分との包む矩形をして定点より定直線に至る距離の上の正方形に等しからしむるときは其の分点の軌跡如何．