1928　山形高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x+y+z=x^2+y^2+z^2=2$なるとき次式を証せよ．

$x{(1-x)}^2=y{(1-y)}^2=z{(1-z)}^2$

【２】　所設の線分$\mathrm{AB}$を二点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にて同じき比に内分及び外分し$\mathrm{CD}$を直径とする円の周上に任意に一点$\mathrm{P}$をとれば$\mathrm{PA}$と$\mathrm{PB}$との比は一定なることを証せよ．

【３】　$a>b>0\text{，}{x}^2\geqq 0$なるとき次の関係式の成立することを証せよ．

${\displaystyle \frac{a+b}{a-b}}\geqq {\displaystyle \frac{x^2-2bx+a^2}{x^2+2bx+a^2}}\geqq {\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}$

（編注）不必要な条件式があるので，原稿に間違いの可能性がある．

【４】　所設の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円に於て直径$\mathrm{AB}$及び弧$\mathrm{AB}$に切する一つの円を画きその中心$\mathrm{C}$より$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{CD}$を下し$\mathrm{DC}$の延長と半円の弧$\mathrm{AB}$とを$\mathrm{E}$にて交らしむれば$\mathrm{DE}$は$\mathrm{AB}$と円$C$の半径との比例中項なることを証せよ．

【５】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$に於て対角線$\mathrm{BD}$の長さ$10\text{，}$二辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$間の距離$2$にして角$\mathrm{ACD}$は直角なるとき一辺$\mathrm{BC}$の長さを小数第二位まで正しく求めよ．

【６】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両都市間を往復する人あり，往路には都市間の中央より先は通行困難なりしため速さを毎時${\displaystyle \frac{8}{3}}$粁減じたるに$\mathrm{A}$市出発後$10$時間にして$\mathrm{B}$市に到着せり．帰路には全行程を最初の速さより毎時$2$粁減じたる速さにて進み$\mathrm{B}$市出発後$10$時間と$40$分にして$\mathrm{A}$市に帰着せり，此人の最初の速さ及び$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両都市間の距離を求めよ．