1930　第三高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$2x^4+x^3-6x^2-2x+6$の数値を$3$ならしむると同時に$2x^4-3x^3+2x-2$の数値を$1$ならしむる$x$の値を求めよ．

【２】　三次式$a{x}^3+3b{x}^2+3cx+d$が二次式$a{x}^2+2bx+c$にて整除せらるるとき，前者は完全立方式にして後者は完全平方式なることを示せ．

【３】　方程式${\displaystyle \frac{3}{x+3-m}}+{\displaystyle \frac{2}{x+2-m}}=1$の二根の逆数の和を$2$とならしむる$m$の値を求めよ．

【４】　甲，乙二列車あり．甲は東地を，乙は西地を同時に出発し，甲は$10$時間半にて西地に着し，乙は途中甲に出会ひて後$8$時間を経て東地に着せり．乙が両地間を走るに要したる時間を問ふ．

【５】　$15$より始まる奇数を次の如く区切るとき，第$n$番目の区画に属する数の総和を計算せよ．

$15\left|17\text{，}19\right|21\text{，}23\text{，}25|\cdots$

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$に於ける内角の二等分線$\mathrm{AD}$が底辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{D}$に於て交はるとき，$\mathrm{AD}$上の正方形は$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$の包む矩形と$\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{CD}$の包む矩形との差に等しきことを証明せよ．

【７】　三角形$\mathrm{ABC}$の底辺$\mathrm{BC}$が固定し，頂角$\mathrm{A}$の大さが一定なるときその重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

【８】　正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{CD}$上の任意の一点を$\mathrm{P}$とす．辺$\mathrm{AB}$上に底辺を有し，三角形$\mathrm{PAB}$に内接する矩形のうち，底辺と高さとの比が$m:n$なるものと$n:m$なるものとは合同なることを証明せよ．