1930　第五高等学校入学選抜試験MathJax

1930　第五高等学校

選抜試験

易□　並□　難□

【１】　 $x^{2} + p x + q$ の極小値を $m$ とすれば方程式

$x^{2} + p x + q = m$

は等根を有することを証明せよ．（グラフを用ふるも可なり）

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【２】　光が或点を照らす強さは光源の光度に比例し光源よりの距離の平方に反比例す．今 $3$ 米を隔てて甲乙二つの光源あり．其の光度の比は $2 : 1$ なりとすれば甲乙を結ぶ直線上に於て双方より等しき強さにて照らさるる点は甲の光源より何程の距離にあるか．

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【３】　 $p ， q ， r$ が実数にして且つ $p r \neq q^{2}$ なるとき連立方程式

$\begin{array}{l} p x + q y + r = 0 & (1) \\ q x + r y + p = 0 & (2) \end{array}$

の根が共に正ならば $p ， q ， r$ の何れの一つの平方も他の二数の積より大なることを証明せよ．

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【４】　一つの正方形に内接する円を作り次に此円に内接する正方形を作り又次に此正方形に内接する円を作る．かくの如く交互に正方形と円とを作ることを限りなく続け行くとすれば総ての正方形の面積の和と総ての円の面積の和との比は何程となるか．

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【５】　与へられたる一つの円と其円周上の一点 $O$ を中心とする他の与へられたる円との交点を $B ， C$ とす第一の円の弧 $BOC$ 上の任意の一点を $A$ とすれば

$AB . AC = {OB}^{2} - {OA}^{2}$

なることを証明せよ．

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【６】　与へられたる $▵ ABC$ に与へられたる正三角形を外接せしめよ．