1930　新潟高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の二根を$\alpha \text{，}\beta$とし，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\delta }}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\beta }}$が等差級数をなす様に$\gamma \text{，}\delta$を定むれば，此の二数を根とする方程式如何．但係数を$a\text{，}b\text{，}c$にて表はせ．

【２】　定円周上に定点$\mathrm{A}$あり．弦$\mathrm{AB}$を引き$\mathrm{AB}$或は其延長上に一点$\mathrm{P}$をとり，矩形$\mathrm{AB}.\mathrm{AP}$を一定ならしむる時，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　等速にて進行する一列車が某所を通過してより，$t$時間後に機関に故障を生じ，速さを其${\displaystyle \frac{1}{n}}$だけ減ぜしめ，予定より$a$分の延着を来たせり．若し此の故障が尚$b$粁進行したる後に起りしならんには，此の延着時間は$c$分だけ少きを得たるならんといふ．某所より到着点までの距離を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{M}$と辺$\mathrm{AB}$上の一点$\mathrm{N}$とを結ぶ時，$\mathrm{MN}$の長さが$\mathrm{BC}$の半分に等しければ，$\mathrm{MN}$は$\mathrm{BC}$に平行なるか．

【５】　凸多角形$\mathrm{ABC}\cdots \mathrm{H}$の各点を底とし，其の外側に高さ$d$なる矩形$\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2\mathrm{C}\text{，}$$\cdots \text{，}$$\mathrm{H}{\mathrm{H}}_1{\mathrm{H}}_2\mathrm{A}$を作る．次に各頂点を中心とし，半径$d$なる円弧にて，${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{H}}_2{\mathrm{A}}_1$を結ぶ．然る時，$\mathrm{ABC}\cdots \mathrm{HA}$の面積及び周囲を夫々$S$及び$L\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_1\cdots {\mathrm{H}}_2{\mathrm{A}}_1$の面積及び周を夫々$S^{\prime }$及び$L^{\prime }$とし，${L^{\prime }}^2-L^2$と$S^{\prime }-S$との関係を求めよ．

【１】　次の各方程式を解け．但，根を簡単なる形に化せ．

${\displaystyle \frac{1}{x-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x-9}}={\displaystyle \frac{1}{x-3}}+{\displaystyle \frac{1}{x-7}}$

【２】　次の各方程式を解け．但，根を簡単なる形に化せ．

$\sqrt{3x^2-4x+34}+\sqrt{3x^2-4x-11}=9$

【３】　次の各方程式を解け．但，根を簡単なる形に化せ．

$2x^2-7xy+11y^2=60$

$x^2-3xy+2y^2=15$

【４】　次の各方程式を解け．但，根を簡単なる形に化せ．

${\displaystyle \frac{3x-x^3}{1-3x^2}}=(2+\sqrt{3})x$

【５】　$x(x+1)(x+2)(x+3)-15$を因数に分解せよ．

【６】　$a^2=b\text{，}{b}^2=a$を満足する$a\text{，}b$の値如何．

【７】　正三角形と正六角形との周囲の長さが相等しき時，其面積の比を求めよ．

【８】　$2.3\stackrel{\cdot }{7}\stackrel{\cdot }{8}÷0.\stackrel{\cdot }{4}\stackrel{\cdot }{5}$を計算せよ．