1931　第四高等学校入学選抜試験MathJax

【１】次の連立方程式を解け．

${\displaystyle \frac{x+y}{x-y}}+{\displaystyle \frac{x-y}{x+y}}={\displaystyle \frac{10}{3}}{x}^2+y^2=5$

【２】円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$を過り$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{B}$に於ける切線に夫々平行なる直線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{AE}$が底辺と$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$に於て交はるときは

${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CD}}}={\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AB}}}^2}{{\overline{\mathrm{AC}}}^2}}$

なる関係あることを証明せよ．

【３】　$\sqrt{1+x}\sqrt{1+y}\sqrt{1+z}$は等差級数をなし$x:y:z=3:6:10$なりといふ．$x\text{，}y\text{，}z$の値を求む．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の底$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$をとり$\mathrm{D}$より$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に平行線を引き$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と交はる点を$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とす$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{DF}$の長さの和が与へられたる長さに等しき様に点$\mathrm{D}$を求めよ．

【５】　二つの方程式$x^2+px+q=0\text{，}{x}^2+qx+p=0$が唯一つの根を共有するときは共通ならざる根の和が$-1$に等しきことを証明せよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{O}$とす．辺$\mathrm{BC}$の位置，長さ，及び角$\mathrm{BOC}$を与へて頂点$\mathrm{A}$の軌跡を求む．

【７】　$a{x}^2+bx+c=0$なる方程式に於て$a\text{，}b\text{，}c$が総て奇数なるときは此の方程式は整数根を有せざることを証明せよ．

【８】　兎の足にて$90$歩だけ前方にある兎を追ふ犬あり兎が$9$歩する時間に犬は$6$歩すれども兎の$7$歩の距離は犬の$3$歩の距離に等しと云ふ然らば犬が兎に追ひつくまでに犬は幾歩走るべきか，但し両者は同じ道を走るものとす．