1931　第五高等学校入学選抜試験

【１】　$p^2-q>0$なるとき二次方程式$x^2+2px+q=0$及び$x^2+2(p+1)x+2p+q=0$の四根を大小の順に並べよ．

【２】　甲乙丙三人が$\mathrm{A}$地より出発して$\mathrm{B}$地に向ひたり，甲は徒歩にて午前六時に出発し乙も徒歩にて午前九時に出発し丙は自転車にて午前十時に出発したり，然して丙は午前十一時に乙を追ひ越し午前十一時半に甲を$\mathrm{B}$地より十一粁手前にて追ひ越し午後零時半に$\mathrm{B}$地に到着したりといふ，$\mathrm{AB}$両地間の距離及び甲乙が$\mathrm{B}$地に到着する時間を求めよ．（但し各人は終始一定の速さにて進むものとす）

【３】　円の弧$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$を通りて弦$\mathrm{MD}$を引き弦$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とす．弦$\mathrm{MD}$上に一点$\mathrm{E}$をとり${\mathrm{ME}}^2=\mathrm{MC}.\mathrm{MD}$ならしむるとき点$\mathrm{E}$の軌跡を求めよ．

【４】　次の方程式の根を幾何学的に作図せよ．

a)　$x^2-3x+1=0$

b)　$x^2+3x-1=0$

【３】　等差級数に於て最初の$n$項の和を$S_1\text{，}$次の$n$項の和を$S_2\text{，}$其又次の$n$項の和を$S_3$といふ如く順次作りゆくときは$S_1,S_2,S_3,\cdots$は又等差級数をなすことを証明し且つこの等差級数の最初の$m$項の和は元の等差級数の最初の$mn$項の和に等しきことを証明せよ．

【５】　正方形$\mathrm{ABCD}$に於て$▵\mathrm{ABC}$の内心$\mathrm{O}$より$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{DC}$に垂線$\mathrm{OE}\text{，}\mathrm{OF}$を引くときは正方形$\mathrm{EOFD}$の面積の二倍は正方形$\mathrm{ABCD}$の面積に等しきことを証明せよ．