1931　山口高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x$の三次式$A$及び$B$の最小公倍数は$x^4+p{x}^2+qx+a^2$にして最大公約数は$x^2-1$なるとき$p\text{，}q\text{，}A\text{，}B$を求めよ．

【２】　$x$及び$a$が実数なるとき，$x$が如何なる範囲内の値をとるとき$\sqrt{{\displaystyle \frac{(a^2+x^4)(2-x)}{3+x}}}$は実数なるか．

【３】　$x\text{，}y$が正にして$xy=x+y$なるとき$x+y$の最小値は$4$なることを示せ．

【４】　一辺の長さ$a$なる正方形$\mathrm{ABCD}$あり，各辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$上に夫々${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$をとり${\mathrm{AA}}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{AB}\text{，}$${\mathrm{BB}}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{BC}\text{，}$${\mathrm{CC}}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{CD}\text{，}$${\mathrm{DD}}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{DA}$とす．$\mathrm{A}$と${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{B}$と${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{C}$と${\mathrm{D}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{D}$と${\mathrm{A}}^{\prime }$を結び第二の正方形を得．この正方形に於て上と同様の方法により第三の正方形を作り順次第四，第五$\cdots$の正方形を作るとき，すべての正方形の面積の総和を求めよ．

【１】　定円の直径上の定点と此直径に平行なる任意の弦の両端とを結ぶ二つの線分の平方の和は一定なることを証明せよ．

【２】　一点に於て相互に$60\mathrm{°}$の角をなして交る三つの無限直線あり．これ等の三直線に到る距離の和が一定なる点の軌跡を求めよ．