1933　第一高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　三角形の底辺の位置と大さ，他の二辺の和の大さが夫々一定なるとき，底辺の一端より頂角の外角の二等分線へ下さる垂線の足は一定円周上にあることを証明せよ．

【２】　円に内接する六辺形$\mathrm{ABCDEF}$の対角線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$が一点に会するときは

${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DE}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FA}}}=1$

なることを証明せよ．

【３】　次の連立方程式を解け．

${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}={\displaystyle \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}}={\displaystyle \frac{z}{\sqrt{1+z^2}}}\text{，}x+y+z=2$

　但し$\sqrt{}$は正の平方根を表すものとす．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が悉く正数なるときは$({\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{c}{d}})({\displaystyle \frac{b}{a}}+{\displaystyle \frac{d}{c}})$は$4$より小ならざることを証明せよ．

【５】　$2.\stackrel{\cdot }{2}9\stackrel{\cdot }{7}$を$6.2\stackrel{\cdot }{3}$にて割りたる商を循環小数にて表はせ．