1933　第五高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　連立方程式

$5x-3y-z=03x-y+z=-4xz+y=3+k$

を同時に満足する$x\text{，}y\text{，}z$の実数値が存在するためには，$k$は如何なる範囲の実数値をとるべきか．

【２】　與へられたる円（その中心を$\mathrm{O}$とす）の一定の直径$\mathrm{AB}$の一端$\mathrm{A}$より任意の弦$\mathrm{AC}$を引き，$\mathrm{AC}$の延長上に$\mathrm{AC}$に等しく$\mathrm{CD}$をとるとき，$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{DO}$の交点$\mathrm{P}$は定円周上にあることを証明せよ．

【３】　初項$1$なる無限等比級数の総和が，その各項の$3$乗の総和の$2$倍に等しきとき，元級数の公比を求めよ．

【４】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の三辺をそれぞれ対応辺とする三つの相似三角形の中，何れの二つをとるもそれ等の面積の和は他の一つの面積より大なることを証明せよ．

【５】　三角形の三辺が等差級数をなすとき，三辺の和$12$糎，面積$6$平方糎として，三辺の長さを求め，且つその三角形は直角三角形なることを証明せよ．

【６】　$y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$なる関係あり．$x$が相異なる四つの値$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}{x}_4$をとるときの$y$の値をそれぞれ$y_1\text{，}{y}_2\text{，}{y}_3\text{，}{y}_4$とするとき次式を証明せよ．但し$ad$は$bc$に等しからずとす．

${\displaystyle \frac{y_1-y_3}{y_2-y_3}}:{\displaystyle \frac{y_1-y_4}{y_2-y_4}}={\displaystyle \frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}}:{\displaystyle \frac{x_1-x_4}{x_2-x_4}}$

(編注）n-44037846では「それぞれ$y_1\text{，}{y}_2\text{，}{y}_3\text{，}{y}_4$とすれば

${\displaystyle \frac{y_1-y_3}{y_2-y_3}}:{\displaystyle \frac{y_1-y_4}{y_2-y_4}}={\displaystyle \frac{x_1-x_3}{x_2-x_3}}:{\displaystyle \frac{x_1-x_4}{x_2-x_4}}$

なることを証明せよ．⋯」