1933　第七高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\text{，}{x}^2-y^2=9$を解け．

【２】　與へられたる正三角形$\mathrm{ABC}$の二辺$\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{CB}$の上に夫々点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を$\mathrm{▵ABC}=2\mathrm{▵CDE}$なる如くとり$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{CE}$の長さを夫々$x\text{，}y$とす．$x+y$を最小ならしむるときは$\mathrm{DE}$は$\mathrm{AB}$に平行なることを証明せよ．

【３】　$a<-1$なるとき，

$x^2+4a^{2}x+a=0\text{，}a{x}^2+4a^{2}x+1=0$

が一根を共有すれば次の二次方程式は等根をもつことを証明せよ．

$x^2+4ax-a-1=0$

(編注)　理科は「⋯なるとき，二つの二次方程式」

【４】　線分$\mathrm{AB}$及びこの上にあらざる点$\mathrm{C}$を與ふ．$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$をとり${\mathrm{CD}}^2=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DB}$ならしめよ．

【５】　$\sqrt{14-4\sqrt{10}}$の整数部分を$a$とし小数部分を$b$とするとき次式の値を小数第三位迄求めよ（四捨五入）．

${\displaystyle \frac{1}{a+b}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}$

(編注)　文科は「整数部を$a$とし小数部を$b$とするとき${\displaystyle \frac{1}{a+b}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}$の値を⋯」

【６】　一直線上に三点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が此順序にあり．今一点$\mathrm{P}$を$\mathrm{▵PAB}$の外接円と$\mathrm{▵PAC}$の外接円とが相等しくなる如くとるときかかる点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【７】　$x+{\displaystyle \frac{k}{x}}=y+{\displaystyle \frac{k}{y}}=z+{\displaystyle \frac{k}{z}}$なるときは$x\text{，}y\text{，}z$のうち何れか二つは必ず相等しきことを証明せよ．

【８】　$\mathrm{AB}$を直径とする半円の弧の上に二点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$をとり$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{D}$とし$\mathrm{D}$より$\mathrm{AB}$に下せる垂線が$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{G}$に於て$\mathrm{AB}$と$\mathrm{H}$に於て交はるときは$\mathrm{PG}:\mathrm{QG}=\mathrm{PH}:\mathrm{QH}$なる関係あることを証明せよ．

(編注)　理科では「交はるとき

${\displaystyle \frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{QG}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{QH}}}$

なることを証明せよ．」

【２】　一辺の長さ$a$なる正三角形$\mathrm{ABC}$の二辺$\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{CB}$の上に夫々点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を$\mathrm{▵ABC}=2\mathrm{▵CDE}$なる如くとり，$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{CE}$の長さを夫々$x\text{，}y$とす．$x+y$を最小ならしむるとき$\mathrm{DE}$の長さを求む．