1933　新潟高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て，点$\mathrm{P}$が角$\mathrm{A}$の外角の二等分線の上にあれば ，$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}<\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$なることを証明せよ．

【２】　互いに相交はる四直線のなす四つの三角形の外接円は同一の点を通過す．これを証明せよ．

【３】　角$\mathrm{A}$が直角なる三角形$\mathrm{ABC}$に於て，辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{D}$を過り$\mathrm{BC}$に垂線を立て，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$又はその延長との交点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とすれば，$\mathrm{DE}\cdot \mathrm{DF}={\mathrm{DA}}^2$なることを証明せよ．

【４】　與直線$l$外に與へられたる二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あり．$l$上に一点$\mathrm{P}$を取り，$\mathrm{BP}$を$\mathrm{A}$より$\mathrm{BP}$に下せる垂線の二倍に等しからしめよ．

【５】　定円$O$外に定点$\mathrm{A}$あり．$\mathrm{A}$を過る円を画くに，円$O$と交はり且つ其交点に於ける二円の切線が互いに直行する如くす．然る時，此円の中心の軌跡を求めよ．

【１】　$x+\sqrt{3x-5}-2=0$なる時，$\sqrt{3x-5}$の値を求めよ．

【２】　${\displaystyle \frac{x+y}{2x+y}}={\displaystyle \frac{x+y+z}{2(x+y)}}={\displaystyle \frac{z+2x}{3y}}$なる時，$x:y:z$を求めよ．

【３】　半径$a$なる円に内接する矩形の周は$5a$なりと云ふ．此矩形の相隣れる二辺の比を求めよ．

【４】　一平面に垂直に風が当る時，平面が受くる圧力は，風の速さの平方と面の広さとに比例す．風の速さ毎秒$1$米なる時，$1$平方米の平面の受くる圧力が$80$瓦に等しと云ふ．然らば毎時$75$粁の風が$6$米平方の平面に垂直に当る時，其受くる圧力は幾瓩なるか．

【５】　$\mathrm{O}$を三角形$\mathrm{ABC}$の内心，${\mathrm{O}}^{\prime }$をその一つの傍心，$\mathrm{P}$をその外接円と${\mathrm{OO}}^{\prime }$との交点とすれば，$\mathrm{OP}={\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$なることを証明せよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の角$\mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とす．$\mathrm{D}$に於て$\mathrm{BC}$に切し且つ頂点$\mathrm{A}$を過る円と辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$との交点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とすれば，$\mathrm{EF}$は$\mathrm{BC}$に平行なることを証明せよ．

【７】　定円$O$内に定点$\mathrm{A}$あり．$\mathrm{A}$を過り互いに垂直なる二直線$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$を引き，円周との交点を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とす．弦$\mathrm{BC}$の中点の軌跡を求めよ．