1933　松本高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$200$粁以上隔りたる甲乙両地あり．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$なる二台の自動車が乙地に向ひ甲地を出発すると同時に$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$なる二台の自動車が甲地に向ひ乙地を出発せり．$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$とは甲地を距る$120$粁の地点にて出会ひ$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$とは甲地を距る$140$粁の地点にて出会ひ又$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$とは乙地を距る$126$粁の地点にて出会ひ$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}$とは甲地と乙地との中央の地点にて出会へり．甲乙両地間の距離は幾粁なるか．

【２】　$a\text{，}b$が相異なる正数なるとき${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a+b}{a-b}}+{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}{{\displaystyle \frac{a+b}{a-b}}-{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}}}$は$1$より大なることを証明せよ．

【３】　$\alpha \text{，}\beta$は方程式$3x^2+3(a+b)x+4ab=0$の根として且${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha +m}}+{\displaystyle \frac{\alpha }{\beta +m}}=1$なる関係を満足するとき$a-b=\pm m$なることを証明せよ．

【４】　$1^2\text{，}{2}^2\text{，}{3}^2\text{，}\cdots \text{，}{n}^2$なる$n$個の数あり．$1^2$と$2^2$との間にある整数の数を$a_1$個，$2^2$と$3^2$との間にある整数の数を$a_2$個，$\cdots \text{，}{(n-1)}^2$と$n^2$との間にある整数の数を$a_{n-1}$個とするとき$a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}$を求めよ．

【５】　三角形の各頂点を中心とし二つづつ互いに外切する三つの円を作図せよ．次に三辺の長さが夫々$1$米，$2$米，$\sqrt{3}$米なる三角形は一角を$60\mathrm{°}$とする直角三角形なることを証明し，この三角形が上述の三円によりて分たるる四つの部分の面積を計算せよ．

【６】　定直線に切し且これに交はらざる定円に外切する任意の円を画くとき二つの切点を結ぶ直線は一定点を過ることを証明せよ．