1933　静岡高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$a{x}^2+b{y}^2+c$が$x$と$y$とに関する一次因数に分解し得る事の能，否を問ふ．但し$a\text{，}b\text{，}c$は常数なりとす．

【２】　正の既約分数あり．その平方根を小数第一位に止め，それ以下を切り棄つるときは$1.3$となる．又その分母子の和は$81$なりと云ふ．この分数を求めよ．

【３】　直角三角形あり．その直角を夾む二辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さを夫々$3\mathrm{cm}\text{，}$及$4\mathrm{cm}\text{，}$とす．今此三角形内に一列に三個の等円を何れも斜辺$\mathrm{AB}$に切し，且一端の円は辺$\mathrm{BC}$に，他端の円は辺$\mathrm{CA}$に，中間の円は両端の二円に切するものとす．これらの円の半径を求めよ．

【４】　一つの円に内接する三角形（但正三角形にあらず）$\mathrm{ABC}$あり．その各頂角の二等分線が再び円に交はる点を以て頂点とする第二の三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$を作り，更に此三角形の各頂角の二等分線が再び円に交はる点を以て頂点とする第三の三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$を作り，順次かくの如くして三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}\cdots$を作るときは，これら三角形は$n$の増大とともに愈々正三角形に近づくものなり．その証明を求む．

【５】　点$\mathrm{O}$に於て交はる二定直線あり．定点$\mathrm{P}$を過り一直線を引き，これら三直線を以て$\mathrm{O}$を頂点とする三角形を作るものとす．今此三角形の一底角をして他の底角の三倍ならしめんとす．その作図法を求めよ．

【６】　二点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{Q}$に於て交はる二円あり．$\mathrm{O}$を過る或直線が再び二円に交はる点を夫々$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$なりとす．又$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に於ける各円への切線が点$\mathrm{P}$に於て交はるものとす．然らば$\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}=\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}$なり．その証明を求む．