1933　松江高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　$x^n-ax+b$と$n{x}^{n-1}-a$とが公約数を有するときは${\left({\displaystyle \frac{a}{n}}\right)}^n={\left({\displaystyle \frac{b}{n-1}}\right)}^{n-1}$なることを証明せよ．但し$n$は$1$より大なる整数にして$a$は$0$ならずとす．

【２】　三位の整数あり．其十位の数字は一位と百位との数字の和の半分に等しく，又一位と百位との数字を交換したるものはもとの数に$198$を加へたるものに等しく，又各位の数字の平方の和の$7$倍はもとの数に$5$を加へたるものに等しと云ふ．もとの整数を問ふ．

【３】　次の級数の和を求めよ．

$a{r}^n+(a+b)r^{n-1}+(a+2b)r^{n-2}+\cdots +(a+(n-1)b)r+(a+nb)$．

(編注）　「$(a+(n-1)b)$」は，原稿では「$(a+\overline{n-1b})$」となっている．

【２】　$x\text{，}y\text{，}z$が相等しからずして$x^3+y^3+axy=y^3+z^3+ayz=z^3+x^3+azx=K$なるときは$x+y+z=a$にして又$x^3+y^3+z^3+xyz=2K$なることを証明せよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に一点$\mathrm{O}$をとり$\mathrm{AO}\text{，}\mathrm{BO}\text{，}\mathrm{CO}$の延長が三つの辺と夫々${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$にて交るとせば${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{{\mathrm{AA}}^{\prime }}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{BO}}{{\mathrm{BB}}^{\prime }}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{CO}}{{\mathrm{CC}}^{\prime }}}=2$なることを証明せよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円（中心$\mathrm{O}$）が辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に切する点を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とし直線$\mathrm{AO}$が内切円と交る点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とせば$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は三角形$\mathrm{ADE}$の内心，傍心なることを証明せよ．