1936　第六高等学校入学選抜試験MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{{(AX+BY)}^2}{A^2+B^2}}={\displaystyle \frac{{(\alpha X+\beta Y)}^2}{{\alpha }^2+{\beta }^2}}$なるときは，${\displaystyle \frac{X^2-B^2}{A\alpha -B\beta }}={\displaystyle \frac{2XY}{A\beta +B\alpha }}$なることを証明せよ．但し$AB\alpha \beta \ne 0\text{，}{\displaystyle \frac{B}{A}}\ne {\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}\text{，}{\displaystyle \frac{A^2-B^2}{AB}}\ne {\displaystyle \frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{\beta \alpha }}$とす．

【２】　或国の人口が若干年間に$100000000$より$112550881$に増加せり．若し毎年の人口増加率が$5\mathrm{\%}$なりしならんには，同年間に其の人口は$100000000$より$121550625$に増加せしならんと云ふ．然らば此の国の同年間に於ける平均毎年の人口増加率如何．

【３】　一つの三角形の二辺の和と他の一辺にて包む三つの矩形の面積の比が$P:Q:R$に等しきとき三辺の長さの比を求めよ．

【４】　一つの等差級数にして，其の$M$項の和と$N$項の和と相等しきものありや，あらば其の一つを示せ．但し$M\ne N$とす．

【５】　$\mathrm{AB}$を弦とする弓形の弧の中点$\mathrm{P}$を通る任意の直線$\mathrm{PX}$へ$\mathrm{A}$及$\mathrm{B}$より下せる垂線の足を夫々$\mathrm{M}$及$\mathrm{N}$とせば，$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$とは弦$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{Q}$より等しき距離に在りや．但し証明は直線$\mathrm{PX}$が二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の間を通る場合のみを記し，他の場合証明を暗示するに足る図のみを描き置くべし．

【６】　高さ$\mathrm{H}$なる正三角形$\mathrm{ABC}$あり．任意の点$\mathrm{P}$より辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$又は其の延長へ下せる垂線の長さを夫々$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とせば，$\mathrm{P}$が，此の三角形の内部に在るときは$\alpha +\beta +\gamma =H$なるが，$\mathrm{P}$が他の所に在るとき$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}H$の間に如何なる関係が成立するか．但し証明は記すに及ばず．