1957　北海道大学MathJax

1957-10001-0101

1957　北海道大学

解析I

易□　並□　難□

【１】

(1)　 $2 x^{2} - x y - y^{2} - 7 x + y + 6$ を因数分解せよ．

1957-10001-0102

1957　北海道大学

解析I

易□　並□　難□

【１】

(2)　 $\frac{10^{x} - 10^{- x}}{10^{x} + 10^{- x}} = a$ （ただし $| a | < 1$ ）を $x$ について解け．

1957-10001-0103

1957　北海道大学

解析I

易□　並□　難□

【１】

(3)　 $b^{2} - 4 a c > 0$ なることは $x$ の二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ が実根をもつための $．$ この空欄に次の(イ)，(ロ)，(ハ)，(ニ)のいずれかを記号で記入せよ．ただし， $a ， b ， c$ は実数とする．

(イ)　必要条件でありかつ十分条件である．

(ロ)　必要条件ではあるが十分条件ではない．

(ハ)　十分条件ではあるが必要条件ではない．

(ニ)　必要条件でも十分条件でもない．

1957-10001-0104

1957　北海道大学

解析I

易□　並□　難□

【２】　定点 $(0, 1)$ を通り定直線 $y = x$ に接する放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ がある．

(1)　この放物線の頂点の $x$ 座標を $x_{0}$ とするとき， $x_{0}$ を $b$ のみを用いて表せ．

(2)　 $x_{0}$ が最大値をとるときの $a ， b ， c$ の値を求めよ．

1957-10001-0105

1957　北海道大学

解析I

易□　並□　難□

【３】　半径が毎秒 $1$ の割合で減少しながら中心は $y$ 軸上を毎秒 $2$ の割合で下降する動円 $C$ と $y$ 軸に平行に毎秒 $1$ の割合で上昇する動点 $P$ がある．時刻 $t = 0$ のとき円 $C$ の中心は $(0, 10) ，$ 半径は $5$ で， $P$ は $x$ 軸上にある．ただし $0 ≦ t ≦ 5$ とする．

(1)　特に $P$ が $y$ 軸上を上昇するとき，動点 $P$ が動円 $C$ に入る瞬間の時刻と円 $C$ を通り抜ける瞬間の $P$ の位置を求めよ．

(2)　 $t$ 秒後の円 $C$ の方程式を求めよ．

(3)　 $P$ が一般に直線 $x = a$ 上を上昇するとき， $t$ 秒後に点 $P$ が円 $C$ の内部にあるとすれば， $t$ と $a$ の間にいかなる関係があるか．

(4)　点 $P$ が決して円 $C$ の内部を通らぬための $a$ の範囲を求めよ．

1957-10001-0106

1957　北海道大学

解析II

易□　並□　難□

【１】

(1)　 $a ， a ， a ， b ， b ， c$ の $6$ 個から $3$ 個をとってできる順列はいくつあるか．

1957-10001-0107

1957　北海道大学

解析II

易□　並□　難□

【１】

(2)　曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線のこうばい（勾配）は $\sqrt{x}$ に比例し，特にこの曲線上の点 $(1, 1)$ における接線のこうばい（勾配）は $3$ であるという．関数 $f (x)$ を求めよ．

1957-10001-0108

1957　北海道大学

解析II

易□　並□　難□

【１】

(3)　関数 $\cos^{2} 3 x + \sin 3 x \cos 3 x$ の周期を求めよ．

1957-10001-0109

1957　北海道大学

解析II

易□　並□　難□

【２】　下の空欄をうめ，その理由を述べよ．

　三次曲線 $y = x^{3} + a x^{2} + b x + c （ a < 0 ）$ において，曲線上の点 $P (0, c)$ における接線の方程式は $y = (イ)$ で，この接線が曲線と交わる点 $Q$ の $x$ 座標は $(ロ)$ である．弧 $PQ$ は弦 $PQ$ の $(ハ)$ にあり，この弧と弦とで囲まれた図形の面積は $(ニ)$ である．（ただし，(ハ)には上側または下側のいずれかの語を入れるものとする．）

1957-10001-0110

1957　北海道大学

解析II

易□　並□　難□

【３】　毎日曲線道路に沿って自転車を走らす人がある．この曲線道路は(B)のグラフで与えられ，この人が出発してから $t$ 分後 $（ 0 ≦ t ≦ 2 ）$ の位置は(A)と(B)によって定まるものとする．

(A)　 $x = t - \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，

(B)　 $y = \frac{x^{3}}{\sqrt{3}} + \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{2 \sqrt{2}}{9}$

(1)　出発点の座標を求めよ．

(2)　道路を表わす曲線の概略を与えられた座標軸を用いてかけ．

(3)　風が絶えず北から $30 °$ 東寄りの方向から吹いている日に，この人が真向から向風（むかい風）を受けるのは出発してから何分後か．

(4)　また別の日に，この人が出発してから $1$ 分後まで少なくとも $1$ 度真向からの向風（むかい風）を受けたという．風は北から東寄り何度と何度の間の方向から吹いていたか．ただし，この人が自転車を走らせる間は風向はかわらないものとする．

1957-10001-0111

1957　北海道大学

幾何

易□　並□　難□

【１】　高さ $10 m$ の塀によって囲まれた直径 $120 m$ の円形の競技場がある．

(1)　高度 $30 °$ （仰角 $30 °$ ）にある太陽のためにこの塀が地上に投ずる影のうち，場外にある部分の面積を求めよ．

(2)　夜間，場内のある $1$ 地点に立っている高さ $30 m$ の照明燈のために，この塀が地上に投ずる影の部分の面積を求めよ．

1957-10001-0112

1957　北海道大学

幾何

易□　並□　難□

【２】　定直線 $l$ と定円 $C$ とは共通点をもたないものとする．

(1)　直線 $l$ に接し円 $C$ に外接する円の中心 $P$ の軌跡は二次曲線であるという．この二次曲線の名称は何か．またこの二次曲線の焦点と準線とを解答用紙の図に明確に記入せよ．

(2)　直線 $l$ に接し，かつ円 $C$ が内接するような円の中心の軌跡につき(1)と同様の問に答えよ．

1957-10001-0113

1957　北海道大学

幾何

易□　並□　難□

【３】　円に内接する四辺形 $ABCD$ の対角線は点 $H$ で直交し，点 $A$ を通るこの円の接線と $BD$ の延長との交点を $T$ とする． $BH = 7 cm ， AH = 4 cm ，$ 弦 $AD = 5 cm$ のとき，次の線分の長さを求めよ．

(イ)　 $AB ，$
(ロ)　円の半径，
(ハ)　 $HC ，$
(ニ)　 $DT ，$
(ホ)　 $AT$

1957-10001-0114

1957　北海道大学

幾何

易□　並□　難□

【４】(1)　平面上に $2$ 線分 $AB ， CD$ がある．点 $P$ が $AB$ 上を，点 $Q$ が $CD$ 上をそれぞれ自由に動くとき，線分 $PQ$ の中点 $M$ の存在する範囲を解答用紙の図(1)に斜線をもって示せ．

(2)　(1)で求めた範囲内に任意に点 $M_{0}$ をとるとき，その点が中点になり，両端 $P_{0} ， Q_{0}$ がそれぞれ $2$ 線分 $AB ， CD$ 上にある線分 $P_{0} Q_{0}$ を図(2)において作図せよ．

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