1959　北海道大学

【１】　$a$を定数とする関数$a^{2}y=-|x-a|+a\cdots \text{㋑}$について

(1)　$a=1$のとき$\text{㋑}$のグラフをかけ．

(2)　$a>0$のとき$\text{㋑}$をみたす$y$の最大値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$a>0$のとき$\text{㋑}$と$x$軸で囲まれる部分で，$2$直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}y=1$の間にある部分$S$が存在するように，$a$の値の範囲を定めよ．

(4)　$S$の面積を$b$とするとき，$b$を$a$で表わし，$a$と$b$との関係をグラフにかけ．

【２】　$f(x)=\log (4-p^2+2px-x^2)-\log q(x^2-4)$がある．

(1)　$q=-2$の場合：

(a)　$p$の値が$\boxed{}$の範囲にあるとき，$x$のどんな実数値に対しても$f(x)$の値は存在しない．

(b)　$f(x)$の値が存在するとき，その$x$の値の範囲は

(ⅰ)　$\boxed{}\leqq p<\boxed{}$のとき$\boxed{}$

(ⅱ)　$\boxed{}<p\leqq \boxed{}$のとき$\boxed{}$

　上の空欄をうめ，理由を書け．

(2)　$p=1$の場合：$q\leqq -1$のとき方程式$f(x)=0$を解け．

【３】　定点$\mathrm{F}(a,0)$と直線$y=mx$とがある．ただし$a>0\text{，}m\ne 0$とする．

(1)　$1$点$\mathrm{P}(x,y)$から$y=mx$におろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすれば，$\mathrm{PH}=\boxed{}$である．空欄をうめよ．

(2)　$\mathrm{PH}=\mathrm{PF}$となるような点$\mathrm{P}$が描く曲線（すなわち$\mathrm{F}$を焦点とし$y=mx$を準線とする放物線）の方程式を求めよ．

(3)　$m$の値をいろいろに変えるとき，(2)の放物線が通る点の存在する範囲を図示せよ．

【４】

(1)　分数関数$f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^2+bx-b}{x+1}}\text{，}a>0$について

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$が範囲$1<x$で増加関数であるための$a\text{，}b$についての条件を求め，点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【４】

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において

(ⅰ)　$\cot B·\cot C+\cot C·\cot A+\cot A·\cot B=p$とおくとき，$p$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の結果をつかって$\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{3}$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の形状を調べよ．

【５】　数列$a_1\text{，}$$a_2\text{，}\cdots \text{，}$$a_n\text{，}\cdots \text{，}$が$a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$a_{n+1}=-{\displaystyle \frac{n(2n+3)}{(n+2)(2n+1)}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$であるとき

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の部分和$S_n\text{，}$および和$S$を求めよ．

【６】　放物線，$y=x^2-ax+b\text{（}b>0\text{）}$がある．

(1)　原点$\mathrm{O}$とこの放物線上の点とを結ぶ直線の傾きが極大，極小となるような放物線上の点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とするとき，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$のそれぞれと，この放物線とは，どんな関係にあるか．

(3)　直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$が直交するとき， $a$と$b$との関係式を書け．

(4)　点${\mathrm{P}}_1$と点${\mathrm{P}}_2$との間にあるこの放物線上の点を$\mathrm{P}(\alpha ,\beta )$とするとき，直線$\mathrm{OP}$と$y$軸と放物線とで囲まれた部分の面積$S(\alpha )$を求めよ．

【７】　半径${\displaystyle \frac{r}{2}}$の円${\mathrm{O}}^{\prime }$が半径$r$の円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{A}$で内接している．円$\mathrm{O}$の弦$\mathrm{PQ}$が円${\mathrm{O}}^{\prime }$と$2$点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$で交わり，しかも弦$\mathrm{PQ}$は点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$で$3$等分されている．

(1)　直線$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$と弦$\mathrm{PQ}$とは直交することを示せ．

(2)　弦$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【８】　定三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を$\mathrm{AM}·\mathrm{AN}=\mathrm{BM}·\mathrm{NC}$となるようにとるとき，$▵\mathrm{AMN}$の重心$\mathrm{G}$は定直線上にあることを示せ．

【９】　双曲線$4y^2-x^2=4$について

(1)　焦点$\mathrm{F}\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$の座標，漸近線および双曲線上の点$(x_1,y_1)$を通る接線の方程式を書け．

(2)　$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }\sim \mathrm{PF}$の値を計算せよ．

(3)　(1)で求めた接線が，漸近線にはさまれる部分の$y$軸への正射影の中点の$y$座標と，正射影の長さが$4\sqrt{2}$となるような接線の接点の座標を求めよ．

一般数学３問は未入手．

理類，水産類，医学進学課程は【１】〜【９】から６題選択．文類は一般数学を含めた１２題から６題選択．