1959　京都大学　全学部MathJax

【１】　$x$の常用対数の指標は$m$であり，その仮数と$\sqrt{x}$の常用対数の仮数との和は$1$である．$x$の常用対数の仮数，$\sqrt{x}$の常用対数の指標および仮数を求めよ．

【２】　$t$の値が$1$から増加していくとき，$x$と$y$が次の$2$つの関係を保ってその値を変えていく．

$x={\displaystyle \frac{\sqrt{t+1}-\sqrt{t-1}}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t-1}}}\text{，}$$y=1-(t-1)x$

このとき

(1)　$y$は$x$の二次式で表わされることを示せ．

(2)　$x\text{，}$$y$の間の関係を表わすグラフをえがけ．

【１】　$1$辺の長さ$a$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，三角形$\mathrm{ABP}$および三角形$\mathrm{ACP}$の内心をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}^{\prime }$とする．角$\mathrm{APB}=\theta \mathrm{°}$として

(1)　角$\mathrm{AOB}$および角$\mathrm{AOP}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{AO}$および$\mathrm{A}{\mathrm{O}}^{\prime }$の長さを求めよ．

(3)　辺$\mathrm{BC}$上で点$\mathrm{P}$を動かすとき，比$\mathrm{AO}:\mathrm{A}{\mathrm{O}}^{\prime }$の値の範囲を示せ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，垂心$\mathrm{H}$と辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{D}$とを結ぶ直線が，外接円と交わる$2$点のうちの$1$つを$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{AE}$は外接円の直径であることを証明せよ．

【１】(1)　$y$に実数値を与えて，方程式$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=y$が実数$x$によって満たされるようにしたい．そのような$y$の値の範囲を求めよ．

(2)　四次方程式$x^4+p{x}^3+8x^2+px+1=0$が$4$つの実根をもつようにするために，係数$p$に与えるべき実数値の範囲を求めよ．

【２】　正三角形の紙がある．$3$つの頂点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とし，辺$\mathrm{AB}$上の$1$点$\mathrm{D}$と辺$\mathrm{AC}$上の$1$点$\mathrm{E}$とを結ぶ線分に沿ってこの紙を折り曲げ，頂点$\mathrm{A}$が辺$\mathrm{BC}$の上に落ちるようにする．$\mathrm{BD}$を最も大きくするには，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AB}$の比の値をどのように定めればよいか．

【１】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+ax+b}{p{x}^2+qx+r}}$

が次の諸条件を満たすように定数$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$r$の値を定めよ．

(A)　$f(1)=0\text{，}$$\text{(B) }{f}^{\prime }(0)={\displaystyle \frac{5}{8}}\text{，}$$\text{(C) }\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$

$\text{(D) }\underset{x\to -1}{\lim }|f(x)|=\infty \text{，}$$\text{(E) }\underset{x\to 2}{\lim }|f(x)|=\infty$

【２】　放物線$y^2=ax$と直線$y=x-2a$とで囲まれた有限部分を，直線$y=2a-x$によって$2$つの部分に分けるとき，これら$2$部分の面積の比を計算せよ．ただし，$a>0$とする．