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1962　室蘭工業大学

易□　並□　難□

【１】　関数

$f (x) = a x - \frac{1}{b x} ，（ a ， b > 0 ）$

が不等式

$1 ≦ f (1) ≦ 2$

および

$13 ≦ f (2) ≦ 20$

を満足するとき， $f (3)$ の範囲を求めよ．

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【２】　方程式

$2 x^{2} - 2 | x | y + y^{2} = a^{2} （ a > 0 ）$

で表される曲線の概形をかけ．また，この曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．

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【３】　定点 $(p, 0)$ を通る直線と $y$ 軸との交点を通って，その直線に垂直な直線はつねに一定の放物線に接することを証明せよ．ただし， $p \neq 0$ とする．

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【４】　三角形 $ABC$ の頂点 $A ， C$ から頂点 $B$ を通る定直線 $g$ におろした垂線の足をそれぞれ $A^{'} ， C^{'}$ とするとき

$A^{'} B = B C^{'} = \frac{1}{2} A^{'} C^{'} = 1 ，$

$\sin A = 2 \cos B \sin C$

および

$\sin B + \sin C = 4 \sin A$

という関係が成り立っている．

　この三角形の $3$ 辺の長さの比を求めよ．また，この三角形を作図せよ．

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【５】　変数 $x$ と $y$ との間に

$\log (x - 1) + 2 \log (y - 3) = 1 ，$ （対数の底は $10$ ）

という関係があるとき，

(1)　 $x - y - 7 = 0$ を満足する $x$ と $y$ との値を求めよ．

(2)　 $x y^{2} - 6 x y + 6 y - y^{2} + 9 x - 7$ の値を求めよ．