1963　北海道大学MathJax

【１】　定直線$g$と，$g$上にない定点$\mathrm{A}$とが与えられている．$g$上に任意の点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{PA}$の$\mathrm{A}$をこえての延長上に点$\mathrm{Q}$をとって，$\mathrm{AP}\cdot \mathrm{AQ}=k^2$（$k$は定線分の長さ）とするとき，点$\mathrm{Q}$はある定まった図形上にあることを示せ．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正方形$\mathrm{ABCD}$に内接する正三角形$\mathrm{AEF}$の面積を求めよ．また，この正三角形に内接する正方形$\mathrm{PQRS}$の一辺$\mathrm{QR}$が$\mathrm{EF}$上にあるとき$\mathrm{QR}$の長さを求めよ．

【３】　変数$x$が

$x^2+bx\leqq -x\text{（}b<-1\text{）}\cdots \text{①}$

を満たすとき，$x^2+bx$の最小値が$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$であるように$b$の値を定めよ．

【４】　$x$の二次函数

$f(x)=x^2+(2a-1)x+a+{\displaystyle \frac{1}{a}}+2$

について，次の問に答えよ．ただし，文字はすべて実数とする．

(1)　$f(x)$の最小値$M$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a\leqq 1$なるとき，$M$の最小値と最大値を求めよ．

【５】　三点$\mathrm{A}(3,4)\text{，}\mathrm{B}(0,0)\text{，}\mathrm{C}(8,-8)$があるとき，次の問に答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}$を$\alpha$とし，$\cos \alpha$を求めよ．

(2)　$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

【６】　$1+{\log }_4(x-2)={\log }_2(2-\sqrt{x-3})$を解け．

【７】　$\angle \mathrm{XOY}=120°$である$2$つの半直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$がある．$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$に接する半径$r_1\text{（}=1\text{）}$の円$O_1$がある．$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}\text{，}$円$O_1$に接し，半径が円$O_1$の半径より小さい円を$O_2$とする．このようにして円$O_3\text{，}{O}_4\text{，}\cdots \text{，}{O}_n\text{，}\cdots$を作るとき，円$O_n$の半径と面積をそれぞれ$r_n\text{，}{S}_n$とする．

(1)　$r_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n＝1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

【８】　$y=\sin x$と$y=\sin 2x$の$2$つのグラフによって囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．ただし$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【９】　次の$4$つの条件をすべて満たす四次函数

$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

の係数を求めよ．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=-\infty$

(2)　$y=f(x)$のグラフは$y$軸に関して対称である．

(3)　円$x^2+y^2=1$上の点$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$におけるこの円の接線はこの点で$y=f(x)$のグラフに接する．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx={\displaystyle \frac{a+e^2}{5}}+{\displaystyle \frac{c}{3}}$

【１】　

(イ)　$\angle \mathrm{A}=90°\text{，}\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{AC}=1$なる三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}$を直径とする円と$\mathrm{AC}$を直径とする円との共通部分の面積を求めよ．

【１】　

(ロ)　$1$辺の長さが$1$である正三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AD}$と$\mathrm{CE}$とが等しくなるように辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{CA}$と$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$としたとき$\mathrm{DF}$と$\mathrm{GE}\text{，}$またはそれらの延長の交点$\mathrm{P}$は定円周上にある．その円の中心と半径を求めよ．また$\mathrm{P}$の存在する限界を求めかつ図示せよ．

【２】　実数$x\text{，}y\text{，}z$に関する次のような関係式がある．

$x-4y+3z=2\cdots \text{①}$

$-2x+y+z=3\cdots \text{②}$

$7x-yz+2\leqq z-x\leqq {\displaystyle \frac{z+6}{y+1}}\cdots \text{③}$

このとき，$x^2-y-z$を最大にする$x\text{，}y\text{，}z$の値と，最小にする$x\text{，}y\text{，}z$の値を求めよ．

【３】　$x$の二次函数$f(x)=x^2+ax+b$の最小値を$M$とする．$0\leqq f(0)\leqq 5\text{，}1\leqq f(1)\leqq 3$なるとき，$M$の最大値と最小値をそれぞれ数値で求め，またそれらを与える$x$の数値を求めよ．ただし文字はすべて実数とする．

【４】　不等式$a+b+\sin 3x-4<(a^2+b^2+3)\sin x$が$x$のどんな値に対しても成り立つような$a\text{，}b$の条件を求めよ．またその条件を満たす$a\text{，}b$を座標にもつ点の存在する範囲を図示せよ．ただし文字はすべて実数とする．

【５】　長さ$l$の定線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上に任意の一点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$から$\mathrm{AB}$に垂線を下し，その足を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{D}$から$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$に垂線を下し，その足をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{．}{\mathrm{Q}}_1$とする．次に，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_1$より$\mathrm{AB}$に垂線を下し，その足をそれぞれ${\mathrm{E}}_1\text{，}{\mathrm{F}}_1$とする．${\mathrm{E}}_1\text{，}{\mathrm{F}}_1$よりそれぞれ$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BP}$に垂線を下し，その足をそれぞれ${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$として，${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2$より$\mathrm{AB}$に垂線を下し，その足をそれぞれ${\mathrm{E}}_2\text{，}{\mathrm{F}}_2$とする．この操作をつぎつぎとつづけて点${\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{E}}_3\text{：}{\mathrm{Q}}_3\text{，}{\mathrm{F}}_3\text{；}\cdots$を定める．

$X=\mathrm{PD}+{\mathrm{P}}_1{\mathrm{E}}_1+{\mathrm{P}}_2{\mathrm{E}}_2+{\mathrm{P}}_3{\mathrm{E}}_3+\cdots \text{，}$

$Y=\mathrm{PD}+{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{F}}_1+{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{F}}_2+{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{F}}_3+\cdots$

としたとき

(1)　$X\cdot Y$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が半円周上を動くとき，$X+Y$の最小値を求めよ．

【６】　曲線

$y={(x-{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}})}^3+{\displaystyle \frac{a^3}{3\sqrt{3}}}\cdots \text{①}$（ただし$a\geqq 0$とする）

と直線

$y=x\cdots \text{②}$

が与えられている．

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}$が原点のほかに共有点をもつことができるような$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\text{①}\text{，}\text{②}$が接するように$a$の値を定め，次にこのとき，$\text{①}\text{，}\text{②}$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

理類，水産類，医学進学課程は全６問必須．文類は数学I（【１】〜【３】），数学II（【４】〜【６】），数学III（【７】〜【９】）から２科目選択．