1963　東京大学　1次試験

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　任意の実数$x\text{，}y\text{，}z$に対して

$\boxed{\text{(1)}}{x}^2+\boxed{\text{(2)}}(x+y+3z)$

$=\boxed{\text{(3)}}\{x^2+2(y+3z)\}+2(y+z)+\boxed{\text{(4)}}(2x+z)$

が成り立つ．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　二定点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,3)$と定直線

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdots \text{①}$

がある．直線$\text{①}$の上の動点$\mathrm{P}$をとって，${\overline{\mathrm{PA}}}^2+{\overline{\mathrm{PB}}}^2$を最小にすれば，その最小値は$\boxed{\text{(5)}}$で，その最小値を与える点${\mathrm{P}}_0$の座標は$(\boxed{\text{(6)}},\boxed{\text{(7)}})$である．また点${\mathrm{P}}_0$を通って直線$\text{①}$に垂線$l$をひけば，$l$と直線$\mathrm{AB}$の交点の$y$座標は$\boxed{\text{(8)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$▵\mathrm{ABC}$において頂点$\mathrm{A}$の座標が$(2,16)\text{，}$重心の座標が$(3,-1)\text{，}$外心の座標が$(2,1)$であるとすれば，頂点$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{(9)}},\boxed{\text{(10)}})\text{，}\mathrm{C}$の座標は$(\boxed{\text{(11)}},\boxed{\text{(12)}})$である．ただし$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　曲線$y=x^3+\boxed{\text{(13)}}{x}^2+\boxed{\text{(14)}}x+\boxed{\text{(15)}}$の接線の傾きは接点が$(2,-10)$のとき最小となり，そのときの傾きは$\boxed{\text{(16)}}$で，その接線は原点を通る．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまるのは，下記のイ.ロ.ハ.ニ.の中のどれであるか．イ.ロ.ハ.ニ.の記号で答えよ．

　長さ$a\text{，}b\text{，}c$の三つの線分がある．これらを三辺とする鋭角三角形をつくりうるために

(ⅰ)　$|a-b|<c<a+b$は$\boxed{\text{(17)}}$である．

(ⅱ)　$|a^2-b^2|<c^2<a^2+b^2$は$\boxed{\text{(18)}}$である．

(ⅲ)　$|a^2-b^2|<c^2<ab$は$\boxed{\text{(19)}}$である．

(ⅳ)　$|a-b|<c<{\displaystyle \frac{b^2}{a}}+{\displaystyle \frac{a^2}{b}}$は$\boxed{\text{(20)}}$である．

イ.　必要かつ十分な条件

ロ.　十分であるが必要でない条件

ハ.　必要であるが十分でない条件

ニ.　必要でも十分でもない条件

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　任意の実数$x$に対して

$6x^3+\boxed{\text{(1)}}{x}^2-8x+\boxed{\text{(2)}}$ $=(x-1)(\boxed{\text{(3)}}x+1)(3x+\boxed{\text{(4)}})$

が成り立つ．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　平面上に二つの定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が与えられていて，$\mathrm{AB}=6$とする．この平面上で点$\mathrm{P}$を$\mathrm{A}$のまわりに正の向きに$60\mathrm{°}$回転した点を${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }$を$\mathrm{B}$のまわりに正の向きに$120\mathrm{°}$回転した点を${\mathrm{P}}^{″}$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$を$\mathrm{AB}$の中点とすれば，$\mathrm{B}{\mathrm{P}}^{\prime }=\sqrt{\boxed{\text{(5)}}}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{″}=\boxed{\text{(6)}}$である．

(ⅱ)　${\mathrm{P}}^{″}$が$\mathrm{P}$と一致するとすれば，$\mathrm{AP}=\sqrt{\boxed{\text{(7)}}}\text{，}\mathrm{BP}=\boxed{\text{(8)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　時刻$t=0$のときに図のような位置にある半径$1$の二つの円$C_1\text{，}{C}_2$が$x$軸にそってすべらないで$x$軸の正の方向にころがる．二つの円$C_1\text{，}{C}_2$上の図に示された定点${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{Q}}_0$の時刻$t$のときの位置をそれぞれ${\mathrm{P}}_t(x_1,y_1)\text{，}{\mathrm{Q}}_t(x_2,y_2)$とするとき

$x_1=t-\sin t\text{，}{y}_1=1-\cos t$

および

$x_2=t-\sin (t+a\pi )\text{，}{y}_2=-1+\cos (t+a\pi )\text{，}\text{（}0\leqq a<2\text{）}$

となるとする．

　このとき$a$の値は$\boxed{\text{(9)}}$で，$0\leqq t\leqq \pi$の範囲における二点${\mathrm{P}}_t\text{，}{\mathrm{Q}}_t$の距離の最小値は$\boxed{\text{(10)}}\text{，}$最大値は$\sqrt{\boxed{\text{(11)}}}$である．また，最大値をとるのは$t=\boxed{\text{(12)}}\pi$のときである．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　${\log }_{2}y={({\log }_{2}x)}^3$を満足する正の数$x\text{，}y$に対して，${\displaystyle \frac{x^3}{y}}$は$1\leqq x\leqq 4$の範囲で$x=\boxed{\text{(13)}}\text{，}y=\boxed{\text{(14)}}$のとき最大となり，その最大値は$\boxed{\text{(15)}}$である．また，この範囲で${\displaystyle \frac{x^3}{y}}$の最小値は$\boxed{\text{(16)}}$である．

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまるのは，下記のイ.ロ.ハ.ニ.の中のどれであるか．イ.ロ.ハ.ニ.の記号で答えよ．

二つの実数$a\text{，}b$についての命題

「どんな実数$x$に対してもそれぞれ適当な実数$y$をとれば$ax\ne by$となる」

が成り立たないために

(ⅰ)　「どんな実数$x$をとっても任意の実数$y$に対して$ax=by$となる」ことは$\boxed{\text{(17)}}$である．

(ⅱ)　「どんな実数$x$に対してもそれぞれ適当な実数$y$をとれば$ax=by$となる」ことは$\boxed{\text{(18)}}$である．

(ⅲ)　「適当な実数$x$をとればどんな実数$y$に対しても$ax=by$となる」ことは$\boxed{\text{(19)}}$である．

(ⅳ)　「適当な実数$x$をとれば適当な実数$y$に対して$ax=by$となる」ことは$\boxed{\text{(20)}}$である．

イ.　必要かつ十分な条件

ロ.　十分であるが必要でない条件

ハ.　必要であるが十分でない条件

ニ.　必要でも十分でもない条件