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1964-10007-0101
1964 室蘭工業大学
易□ 並□ 難□
【1】 次の を埋めよ.
(1) 函数 loga⁡ x は (1) ならば, x が正の範囲で増加函数である.
1964-10007-0102
(2) 実係数の二次函数 x2+a ⁢x+b は (2) ならばすべての実数値 x に対してつねに正である.
1964-10007-0103
(3) 2 点 A ( -3,1 ), B (5 ,7 ) を結ぶ線分 AB を 2 :3 の比に内分する点の座標は (3) である.
1964-10007-0104
(4) 相異なる 2 正数 a , b の相加平均 a+b 2 は相乗平均 a ⁢b より (4) である.
1964-10007-0105
(5) 円外の点 P を通る直線とその円との交点を A ,B とする.この円に P から接線を引き,その接点を T とすれば 3 つの線分の長さ PA , PB ,PT の間には等式 (5) が成り立つ.
1964-10007-0106
【2】 0< x+h x<2 を満足するすべての実数値 x と h とに対して
∫ xx+h f⁡ (t) ⁢dt= ∑ n=1 ∞ (-1 )n +1⁢ hnx n+1
が成り立つように f ⁡(x ) の形を定めよ.
1964-10007-0107
【3】 方程式
| 2-log x⁢y ⁡( x+1) ⁢( y+1 )| +| 2+log3 ⁡ ( x-1) ⁢(y- 1)2 |= 0
を満足する x と y との組を求めよ.
1964-10007-0108
【4】 函数 2 ⁢x3 -3⁢k ⁢x2 +k2 ⁢x の極大値と極小値との差が 1 となるように実数 k の値を求めよ.
1964-10007-0109
【5】 長さ 3 の定線分 BC がある.いま, BC 上の点 D で BC に接する,半径 1 の円 O をつくり, B , C からそれぞれ円 O に引いた接線の交点を A とするとき,次の問に答えよ.
(1) 円 O が三角形 ABC の内接円になっているとき, BD=x とおいて三角形 ABC の面積 S を x の函数として表せ.
(2) (1)の S の最小値を求めよ.
1964-10007-0110
【6】 f⁡( x)= sin⁡3 ⁢x+cos ⁡x ,g ⁡(x )=cos ⁡3⁢x +sin⁡x とするとき,次の問に答えよ.
(1) ∫ 02⁢ π {❲ f⁡( x) ❳2 +❲ g⁡( x) ❳2 }⁢ dx を求めよ.
(2) 2 曲線 y =f⁡( x) ,y= g⁡( x) で囲まれた部分の面積を求めよ.
ただし, 0≦x ≦π とする.