1964　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(1)　函数${\log }_{a}x$は$\boxed{\text{(1)}}$ならば，$x$が正の範囲で増加函数である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(2)　実係数の二次函数$x^2+ax+b$は$\boxed{\text{(2)}}$ならばすべての実数値$x$に対してつねに正である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}(-3,1)\text{，}\mathrm{B}(5,7)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:3$の比に内分する点の座標は$\boxed{\text{(3)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(4)　相異なる$2$正数$a\text{，}b$の相加平均${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$は相乗平均$\sqrt{ab}$より$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(5)　円外の点$\mathrm{P}$を通る直線とその円との交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．この円に$\mathrm{P}$から接線を引き，その接点を$\mathrm{T}$とすれば$3$つの線分の長さ$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PT}$の間には等式$\boxed{\text{(5)}}$が成り立つ．

【２】　$0<{\displaystyle \frac{x+h}{x}}<2$を満足するすべての実数値$x$と$h$とに対して

${\displaystyle {\int }_x^{x+h}}f(t)dt={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{(-1)}^{n+1}{\displaystyle \frac{h^n}{x^{n+1}}}$

が成り立つように$f(x)$の形を定めよ．

【３】　方程式

$|2-{\log }_{xy}(x+1)(y+1)|+|2+{\log }_3{\displaystyle \frac{(x-1)(y-1)}{2}}|=0$

を満足する$x$と$y$との組を求めよ．

【４】　函数$2x^3-3k{x}^2+k^{2}x$の極大値と極小値との差が$1$となるように実数$k$の値を求めよ．

【５】　長さ$3$の定線分$\mathrm{BC}$がある．いま，$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{D}$で$\mathrm{BC}$に接する，半径$1$の円$O$をつくり，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$からそれぞれ円$O$に引いた接線の交点を$\mathrm{A}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　円$O$が三角形$\mathrm{ABC}$の内接円になっているとき，$\mathrm{BD}=x$とおいて三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を$x$の函数として表せ．

(2)　(1)の$S$の最小値を求めよ．

【６】　$f(x)=\sin 3x+\cos x\text{，}g(x)=\cos 3x+\sin x$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{\{❲f(x)❳}^2+{❲g(x)❳}^2\}dx$を求めよ．

(2)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

　ただし，$0\leqq x\leqq \pi$とする．