1965　北海道大学MathJax

【１】　半径$1$に内接する四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がそれぞれ辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点はどんな範囲を動くか．その範囲を斜線を引いて図示せよ．

(2)　$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{BD}=2\text{，}\mathrm{AC}=\sqrt{3}$で$\angle \mathrm{D}$が鈍角のとき，$\mathrm{AD}$の長さと，(1)の範囲の面積を求めよ．

【２】

$(3k+1)x+(5k-2)y=ak-3\cdots \text{①}$

$(9-k)x+2(k+2)y=a+bk+4\cdots \text{②}$

(1)　方程式$\text{①}\text{，}\text{②}$を同時にみたす$x\text{，}y$の値の組が無数にあるとき，$k$はどんな値でなければならないか．

　またそのとき，$a\text{，}b$の間にはどんな関係があるか．

(2)　$k$が(1)で求めた以外のどんな値をとっても，$\text{①}\text{，}\text{②}$を同時にみたす$x\text{，}y$の値が一定であるとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　$\log {\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{10}}$および$\log {\displaystyle \frac{{10}^3}{x}}$の指標をそれぞれ$m\text{，}n\text{，}$仮数をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とする．（ただし対数は常用対数である）．

(1)　$2\alpha +\beta$の値を求めよ．

(2)　$m+2=n$のとき，$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　円$x^2+y^2=a^2\text{（}a>0\text{）}$と$x$軸，$y$軸との交点を図のように$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．$y$軸に平行な弦$\mathrm{PQ}$を引き，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，この点の軌跡を図に記入し，その方程式を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は円弧$\mathrm{ACB}$上を動くものとする．

【５】　$f(x)=4({\sin }^{2}2x-{\cos }^{2}x)+2\sqrt{3}\cos 2x+\sqrt{3}-2\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$であるとする．

(1)　$f(x)\leqq 0$である$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

【６】　$|x|\leqq 1$である$x$に対する$f(x)=|x^3-3a^{3}x|$の最大値を$M$とするとき，$M$を最小にする$a$の値を求めよ．また$|a|\leqq 1$の範囲で$a$と$M$との関係を表わすグラフをかけ．

【７】　点${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$は$1$直線上に等間隔$a$で，この順に並んでいる．点$\mathrm{P}$はこの直線上を${\mathrm{A}}_0$から出発して順次${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$を通って止まることなく動き，線分${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\text{，}\cdots$上においては，それぞれ速さ$6\text{，}12\text{，}20\text{，}30\text{，}\cdots$の等速運動をしている．

(1)　線分${\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{A}}_n$上での点の速さを求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が点${\mathrm{A}}_n$に達するまでの平均の速さを求めよ．

【８】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3$上の相異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$での接線に垂直に引いた$2$直線の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし点$\mathrm{P}$の$x$座標$a$は$0$でないとする．

(1)　点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{P}$に限りなく近づくとき，点$\mathrm{R}$の近づく点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が原点をのぞく曲線上の点を動くとき，$\mathrm{PC}$の長さの最小値を求めよ．

【９】　放物線

$y=x^2+1\cdots$(A)

について

(1)　(A)へ点$(a,0)$から引いた$2$つの接線の接点を結ぶ直線は$a$のどんな値に対しても一定の点を通ることを証明し，その定点を求めよ．

(2)　(A)と，点$(a,0)$から引いた$2$つの接線で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$2$つの曲線

$x^2+y^2=a^2\text{（}0<a<2\text{），}$

$y=x^2-b$

は相異なる$4$点で交わっている．

(1)　点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

(2)　$4$点でできる等脚台形の内角の正接を$m$とする．$m^2$を$a\text{，}b$の式で表せ．

(3)　$m^2$のとりうる値の範囲を求めよ．

【５】　数列$\{x_n\}$の項はすべて正で

$x_1=\cos \theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$

$2{x_n}^2-x_{n-1}-1=0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたすものとする．

(1)　$x_2\text{，}{x}_3$を求めよ．また$x_n$の式を書け．

(2)　$y_n=x_1\cdot x_2\cdot \cdots \cdot x_n$とするとき，$y_n\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2^{n-1}}}$を簡単にせよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【６】　原点を頂点とし，鉛直の位置にある$y$軸を軸とする深さ$1\text{，}$上底の面の半径$1$の直円錐形の容器に水が満たしてある．ある物体を一定の速さ$v$で容器の中にいれていくとき，水面から物体の最低部までの水の深さが$h$のときには，物体の水中にある部分は曲線$y=2x^4+1-h$を$y$軸のまわりに回転した回転体であるとする．

(1)　水面から物体の最低部までに水の深さが$h$になるときまでにあふれた水の体積$V$を$h$で表せ．

(2)　物体が側面につく瞬間での$V$の変化率を求めよ．