1965　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(1)　放物線$y=a{x}^2+bx+c$の頂点の座標は$\boxed{\text{(１の１)}}$であり，$a$が$\boxed{\text{(１の２)}}$のときには，$a{x}^2+bx+c$は極大値をもつ．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1-i}{2+i}}=\boxed{\text{(２の１)}}+\boxed{\text{(２の２)}}i\text{，}$ただし，$i=\sqrt{-1}$とする．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(3)　$\sin 75\mathrm{°}+\sin 15\mathrm{°}$の値は$\boxed{\text{(３)}}$に等しい．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(4)　曲線$y=\sqrt{2x-3}$上の点$(2,1)$における接線の方程式は$\boxed{\text{(４)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$における外角の$2$等分線が辺$\mathrm{BC}$の延長と交わる点を$\mathrm{D}$とすれば，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=\boxed{\text{(５)}}$である．

【２】　四辺形$\mathrm{ABCD}$が半径$1$の円に内接し，円弧$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の長さの比が$1:3:a:(8-a)$であるとき，この四辺形の面積が${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$に等しくなるような$a$の値を求めよ．

【３】　$x$についての方程式

$x^4+2a{x}^3+(a^2-b)x^2-abx-6b^2=0$

が相異なる$3$つの正根と$1$つの負根をもつとき，点$(a,b)$の存在範囲を求めてこれを図示せよ．

【４】(1)　$x\text{，}y$のすべての実数値に対して，等式

(ⅰ)　$f(y+x)+f(y-x)-2f(y)=2x^2$

(ⅱ)　$f(x)=f(-x)$

を満足するような関数$f(x)$の形を定めよ．

(2)　$x\text{，}h$のすべての実数値に対して，ある関数$g(x)$と(1)の関数$f(x)$との間に

(ⅰ)　$g❲f(x+h)❳-g❲g(x)❳=❲f(x+h)-f(x)❳❲f(x+h)+f(x)+f(0)❳$

(ⅱ)　$g❲f(0)❳=0$

(ⅲ)　$g❲f(1)❳=4$

という関係が成り立つとき，$f(x)\text{，}g(x)$を定めよ．

【５】　$\log x+\log y=1$のとき，$x^2+y^2-4(x+y)+7$の最小値を求めよ．

　ただし，対数は常用対数とする．

【６】　記号$\{x\}$は$x$に対して不等式$m-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x<m+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満足する整数$m$を表すものとし，

$f_n(x)={\displaystyle \frac{1+n(|x-\{x\}|+1){\sin }^2\pi x}{1+n{\sin }^2\pi x}}\cdot x\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とするとき

(1)　$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

(2)　(1)の$f(x)$について${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$の値を求めよ．