1965　京都大学　文科系・理科系MathJax

【１】　数学のテストのあとで，高校生の弟が，大学生の姉と次のような対話をした．$\boxed{}$の中に適当な記号，式，あるいは語句をいれよ．

弟　きょう，学校で数学のテストがありました．命題がいくつかあげてあって，正しいものに○印を，正しくないものには×印をつける問題でした．全部できたつもりです．

姉　それは，よかったですね．その中の$1$つをいってごらん．

弟　こんなのがありました．

「$2$直線

$y+k(x-2)=0\cdots$(1)，$ky-(x+2)=0\cdots$(2)

の交点は，$k$がどんな実数値をとっても，円

$x^2+y^2-4=0\cdots$(3)

の上にある」というのです．もちろん，○印をつけました．

姉　なぜ，これが正しいことがわかりましたか．

弟　(1)，(2)から$k$を消去したら，(3)がでるからです．それでいいでしょう．

姉　結構ですね．しかし，この問題が本当によくわかっているかどうか，$2\text{，}$$3$質問をしてみましょう．まず，この命題に$2$直線とあるのは，もちろん$(x,y)$平面上の$2$直線のことですね．では，$k$はどういうものですか．

弟　$k$は実数値をとる変数です．^(イ)$\boxed{}\text{，}$それに応じて，方程式(1)，(2)の係数がきまって，それぞれの表わす直線がきまります．^(ロ)$\boxed{}\text{，}$それに対応する$2$直線が動きます．

姉　ところで，$2$直線の交点とありますが，$k$の値によっては，この$2$直線が^(ハ)$\boxed{}$になることはないかしら．

弟　いや，それどころか，いつでも^(ニ)$\boxed{}$します．

姉　どうして．

弟　^(ホ)$\boxed{}$のときには，$2$直線の方向係数は，それぞれ^(ヘ)$\boxed{}\text{，}$^(ト)$\boxed{}$ですが，^(チ)$\boxed{}$ですから，^(リ)$\boxed{}$の条件を満たします．^(ヌ)$\boxed{}$のときには，(1)は^(ル)$\boxed{}$軸と^(ヲ)$\boxed{}$し，(2)は^(ワ)$\boxed{}$軸と^(カ)$\boxed{}$ですから，やはり，(1)，(2)は^(ヨ)$\boxed{}$します．

姉　うまく証明しましたね．では，本題にはいって，(1)，(2)から$k$を消去して，(3)がでたことから，(1)，(2)の交点が(3)の上にあると結論したのは，どういう理由ですか．

弟　僕は，こういう問題は消去するものと覚えこんでいただけで，理由なんて考えてみたこともありません．教えてください．

姉　では，$k$を消去したときに，(3)の左辺をどのようにして，(1)，(2)の左辺からだしたか，まず，それを式でかいてごらん．

弟

$x^2+y^2-4=$^(タ)$\boxed{}(y+k(x-2)\}-$^(レ)$\boxed{}\{ky-(x+2)\}\cdots$(4)

です．

姉　ここにあなたがかいた等式(4)は，等式(1)，(2)，(3)と性格がちがいますね．

弟　(1)，(2)，(3)は^(ソ)$\boxed{}$式ですが，(4)は^(ツ)$\boxed{}$式です．

姉　そのことを心にとめておいて，(1)，(2)の交点が，(3)の上にあることを証明しましょう．

　$(a,b)$が(1)，(2)の交点であるとすれば，$x=a\text{，}$$y=b$は^(ネ)$\boxed{}$を満たす．次に，いま注意したことから，$x=a\text{，}$$y=b$は，もちろん^(ナ)$\boxed{}$を満たす．この$2$つのことから，$x=a\text{，}$$y=b$は^(ラ)$\boxed{}$を満たし，$(a,b)$が^(ム)$\boxed{}$の上にあることがわかる．というわけです．

弟　なるほど，これで，消去の意味がよくわかりました．ところで，姉さん，$k$がすべての実数値をとるとき，この交点は，(3)式の円をえがくのですか．

姉　この交点のえがく曲線は，幾何では，交点の^(ウ)$\boxed{}$といいますね．これを$\alpha$とし，(3)式の円を$\beta$とすると，いままで話しあったことから，$\alpha$は$\beta$と^(ヰ)$\boxed{}$するか，または$\alpha$は$\beta$の^(ノ)$\boxed{}$であることがわかりますね．実際は，$\alpha$は$\beta$から^(オ)$\boxed{}$を除いたものです．証明は，ゆっくりあとで考えてごらん．

【２】　$a\text{，}$$b$は定数とし，$k$は任意の正の値をとるものとする．

　$x$に関する二次方程式

$k{x}^2-{(k+2)}^{2}x+(a{k}^2+4k+b)=0$

の根の$1$つが，$k$の値に関係なく一定であるように，$a\text{，}$$b$を定めよ．また，この場合，他の根は$k$のどんな値に対して最小となるか．

【３】　$\alpha \text{，}$$\beta$は，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$との間にある定角とする．$x$がどんな角であってもつねに，

$\sin (x+\alpha )+\sin (x+\beta )=\sqrt{3}\sin x$

が成立した．このとき，$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【４】　平面上で，角$\mathrm{XOY}$内に定点$\mathrm{A}$がある．いま，$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同時に点$\mathrm{O}$を出発して，同じ一定の速さで，それぞれ半直線$\mathrm{OX}\text{，}$$\mathrm{OY}$上を進むものとする．出発後，しばらくして，この$2$点がそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1$にあるとき，$\mathrm{\angle OA}{\mathrm{P}}_1=\mathrm{\angle OA}{\mathrm{Q}}_1$であった．さらに，もっと進んで，$2$点がそれぞれ${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$にあるときも，$\mathrm{\angle OA}{\mathrm{P}}_2=\mathrm{\angle OA}{\mathrm{Q}}_2$であった．この場合，点$\mathrm{A}$は角$\mathrm{XOY}$の$2$等分線にあることを証明せよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$において，角$\mathrm{B}$の$2$等分線と角$\mathrm{C}$の外角の$2$等分線との交点を$\mathrm{P}$とし，また，角$\mathrm{C}$の$2$等分線と角$\mathrm{B}$の外角の$2$等分線との交点を$\mathrm{Q}$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$から，辺$\mathrm{BC}$の延長におろした垂線の足を，それぞれ$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{K}$とする．このとき，$\mathrm{KB}=\mathrm{CH}$となることを証明せよ．

【６】　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$にどんな実数値を与えても，つねに不等式

$a{x}^2+2a{y}^2+z^2-xy-yz-zx\geqq 0$

が成立するような実数$a$の範囲を求めよ．

【５】「関数$f(x)$の$x=a$における微分係数」の定義をのべよ．

　また，その定義にしたがって，次の$2$つの関数の$x=1$における微分係数を求めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$

(2)　$\sqrt{1+x+x^2}$

【６】　$1$より大きいすべての$x$の値に対して

${\displaystyle {\int }_1^x}(x-t)f(t)\mathit{dt}=x^4-2x^2+1$

が成立するように，整式$f(t)$を定めよ．