1967　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(1)　長方形$\mathrm{ABCD}$で$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AD}=3$とし，$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$上にそれぞれ点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$をとって$\mathrm{PQ}=3$となるような$5$辺形$\mathrm{PQBCD}$をつくるとき，この$5$辺形の面積の最小値は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(2)　${\log }_{10}5=0.6990$とすれば${\log }_{100}0.5=\boxed{}$となる．

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(3)　$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{\tan \theta }}=\boxed{}$

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\log {\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}=\boxed{}$

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(5)　${\displaystyle \int }x\cos xdx=\boxed{}$

【２】　平行$4$辺形$\mathrm{ABCD}$において$\angle A=60\mathrm{°}$である．辺の長さが変わるとき，$2$つの対角線の長さの比${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AC}}}$の最小値を求めよ．

【３】　座標軸を原点のまわりに$30\mathrm{°}$回転することによって

$x^2-2\sqrt{3}xy+3y^2+6\sqrt{3}x-10y+12=0$

がどんな曲線を表すかを調べ，次にこの曲線の主軸の方程式および焦点の座標を$x\text{，}y$軸に関して求めよ．

【４】　連続関数$f(x)$について

$(2x+1)f(x)=6{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt-3x+1$

なる関係が成り立つとき

(1)　$f(x)$の満足する微分方程式をつくれ．

(2)　(1)の微分方程式を解いて$f(x)$を求めよ．

【５】　$y={(2x-\sqrt{x})}^2-1$で表される曲線について

(1)　この曲線の接線が$x$軸と平行になるときの接点，および変曲点の座標を示せ．

(2)　この曲線と$x$軸の間で条件$y\leqq 0$を満たす部分の面積を計算せよ．