1968　室蘭工業大学MathJax

【１】(1)　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+a^2{y}^2=\mathrm{}$上の点$(x_1,y_1)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線と$x\text{，}y$両軸とで囲まれる部分の面積を最小にするような点$(x_1,y_1)$を求めよ．

(3)　$a$に零でない，いろいろな実数値をとらせるとき，(2)で求めた点$(x_1,y_1)$はどんな曲線上にあるか．

【２】　凸$4$角形$\mathrm{OABC}$の対角線$\mathrm{OB}$と$\mathrm{AC}$とは直交している．いま$1$つの内角$\angle \mathrm{AOC}=105\mathrm{°}\text{，}3$辺の長さがそれぞれ$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}a$であるとき

(1)　内角$\angle \mathrm{OAB}$を求めよ．

(2)　残りの内角を求めよ．

【３】(1)　曲線$y^2={\displaystyle \frac{x^2(3-x)}{1+x}}$の概形をかけ．

(2)　(1)の曲線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

【４】　平面上の定線分${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$上に点${\mathrm{P}}_2$をとり

${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_2:{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1=p:q$（$p\text{，}q$は正の一定値）

となるようにし，次に，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$上に点${\mathrm{P}}_3$をとり

${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3:{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_2=p:q$

となるようにする．この操作を続けて，一般に，線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$上に点${\mathrm{P}}_{n+1}$をとり

${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_{n+1}:{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_n=p:q$

となるように点の列$\{{\mathrm{P}}_n\}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$をつくる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$点${\mathrm{P}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_n$および${\mathrm{P}}_{n+1}$の直交座標の間に成り立つ関係式をかけ．ただし，点${\mathrm{P}}_0$と${\mathrm{P}}_1$の座標はそれぞれ$(a_0,b_0)$および$(a_1,b_1)$とする．

(2)　(1)の結果を用いて，$n\to \infty$としたとき，点${\mathrm{P}}_n$は定点に近づくことを証明し，その点の座標を求めよ．

【５】(1)　曲線$y=x^3+a{x}^2-b$が$x$軸とただ$1$点で交わるような点$(a,b)$の存在範囲を求めて，図示せよ．ただし，$a\text{，}b$は実数とする．

(2)　実数を係数とする$x\text{，}y$についての$2$次式$ab{x}^2+y^2+bx+my+1$が$x\text{，}y$についての$2$つの$1$次式の積となるためには，$a\text{，}b$および$m$の間にどんな関係が成り立つことが必要かつ十分か．ただし，$b\ne 0$とする．

(3)　(2)で得られた$a\text{，}b$および$m$の間の関係を満足する点$(a,b)$がつねに(1)の範囲に含まれるように$m$の範囲を定めよ．