1969　室蘭工業大学MathJax

【１】　放物線$y=x^2$上の$2$点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，弦$\mathrm{PQ}$と放物線とが囲む部分の面積を$K$とする．いま，$K$を一定に保ったまま$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を動かすとき，この放物線の$\mathrm{P}$における接線と$\mathrm{Q}$における接線との交点$\mathrm{R}$はどんな曲線上にあるか．

【２】　$3$本の線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$は長さがそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$であって点$\mathrm{O}$で互いに直交している．$▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}\text{，}▵\mathrm{OAB}$のおのおのが$▵\mathrm{ABC}$となす$2$面角をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$の値を求めよ．

【３】　${\displaystyle \frac{1}{2}}$の累乗を$1$つの規則にしたがって

$1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{16}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{8}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}1\text{，}\cdots$

のように並べた数列について，次の問いに答えよ．

(1)　はじめから第$100$番目の項を求めよ．

(2)　第$1$項から第$100$項までの和を求めよ．

【４】　係数が整数であるような$x$の$2$次式$f(x)$について，$f(0)$と$f(1)$の値がともに奇数であれば，方程式$f(x)=0$は整数の根をもたないことを証明せよ．