1970　北海道大学MathJax

【１】　放物線$2y=x^2-12x+33$が直線$y=mx+b$より切りとる弦の長さは，放物線$y=-x^2$がこの直線より切りとる弦の長さの$2$倍であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m$の範囲を求めよ．

(2)　$b$を$m$で表わせ．

(3)　この直線は，$m$が(1)の範囲にあるときは，つねに定点$\mathrm{P}$を通ることを証明し，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(4,3)\text{，}\mathrm{C}(0,3)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}(4,y)\text{，}\mathrm{Q}(x,3)$があり，$\angle \mathrm{POQ}=45°$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y$を$x$で表わし，かつ$x$の範囲を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最小値を求めよ．

【３】(1)　$\omega$を$1$の$5$乗根（$\ne 1$）とする．$\alpha =\omega +{\displaystyle \frac{1}{\omega }}$のとき${\alpha }^2+\alpha$の値を求めよ．

(2)　原点を中心とし，$(1,0)$を$1$つの頂点にもつ正$5$角形において，$(1,0)$に隣接する頂点の$x$座標$\beta$の値を求めよ．

(3)　$2{\beta }^3-{\beta }^2-\beta$を$1$つの根にもつ整数係数の$2$次方程式をつくれ．

【４】　$2$点$\mathrm{A}(1,{\displaystyle \frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }})\text{，}\mathrm{B}(-1,{\displaystyle \frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }})$を通り，$x$軸を準線とする放物線がある．

(1)　焦点の座標を$\theta$で表わせ．

(2)　放物線の方程式を求めよ．

(3)　$\theta$が変化するとき頂点の軌跡を求めよ．

【５】　$a$が実数のとき

$y=x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}(a-1)x^2-3ax+2\cdots \text{㋑}$

について

(1)　極値をもたないように$a$の値を定めよ．

(2)　極大値を$a$を用いて表わせ．

(3)　極大値が最小になるように$a$の値を求めよ．

(4)　$\text{㋑}$のグラフが$x$軸に接するように$a$の値を求めよ．

【６】　$b$と$a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は正の定数とする．放物線${a_n}^{2}y=-x^2+b{a_n}^2$と$x$軸とで囲まれる図形$D_n$の面積を$S_n$とし，$D_n$を$y$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を$V_n$とする．数列$\log V_1\text{，}\log V_2\text{，}\cdots \text{，}\log V_n\text{，}\cdots$が公差$0.6$の等差数列であるとき，数列$S_1\text{，}{S}_2\text{，}\cdots \text{，}{S}_n\text{，}\cdots$は等比数列となることを証明し，かつその公比を求めよ．ただし，対数は常用対数とする．

【４】

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^2}}(x-t)\cos tdt$を計算せよ．

【４】

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{4n^2-k^2}}}$の値を求めよ．

【５】　$f(x)$は$x>0$で定義された正の値をとる微分可能な関数で

${\{f(x)\}}^2=x+1+{\displaystyle {\int }_1^x}{\{f(t)\}}^{2}dt$

を満たすものとする．

(1)　$y=f(x)$の満たす$1$階微分方程式を求めよ．

(2)　$y=f(x)$を任意定数を含まない形で求めよ．

【６】　$3$つのサイコロを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．

(1)　サイコロの目の積が奇数となる事象を奇数事象と名づけるとき，奇数事象の起こる確率を求めよ．

(2)　目が$3\text{，}4\text{，}5$となる確率を求めよ．

(3)　$3$つの目が連続した自然数となる事象を連続事象と名づけるとき，連続事象の起こる確率を求めよ．

(4)　連続事象が起これば$\mathrm{A}$を勝ちとし，奇数事象が起これば$\mathrm{B}$を勝ちとする．はじめに$\mathrm{A}$がサイコロを投げ$\mathrm{A}$が勝てば勝負は終わる．もし$\mathrm{A}$が勝たねば次に$\mathrm{B}$がサイコロを投げ，$\mathrm{B}$が勝てば勝負は終わる．もし$\mathrm{B}$が勝たねば次に$\mathrm{A}$がサイコロを投げる．このようにして勝負が終わるまで，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が交互にサイコロを投げるとき，$\mathrm{A}$の勝つ確率を求めよ．